Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de funções matemáticas, como domínio, interceptos, simetria, comportamentos assintóticos e pontos de máximo. Vamos destrinchar cada parte para entender melhor como essa função se comporta no gráfico.
Passo 2
Domínio da Função:
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função
envolve uma exponencial, e sabemos que a exponencial está definida para todos os números reais. Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
Intercepto no Eixo Y:
O intercepto no eixo Y ocorre quando
. Vamos calcular:
Então, o ponto de interseção com o eixo Y é
.
Intercepto no Eixo X:
Para encontrar o intercepto no eixo X, resolvemos
:
Sabemos que
nunca é zero. Portanto, a função
não intercepta o eixo X.
Passo 4
Simetria:
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Uma função é par se
.
Como
, a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y.
Passo 5
Comportamento Assintótico:
Vamos analisar o limite da função quando
tende a mais ou menos infinito:
Então, o eixo X (
) é uma assíntota horizontal para o gráfico de
.
Passo 6
Pontos de Máximo:
Para encontrar pontos de máximo ou mínimo, vamos derivar a função e igualar a zero.
Primeiro, a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Portanto,
é um ponto crítico. Avaliando a função nesse ponto:
Esse é o ponto de máximo da função.
Passo 7
Comportamento do Gráfico:
- A função tem um único ponto de máximo em
. - É simétrica em relação ao eixo Y.
- Conforme
se afasta de zero, positiva ou negativamente, se aproxima de zero, mas nunca toca o eixo X.
Passo 8
Esboço do Gráfico:
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico de
da seguinte maneira:
- Marque o ponto de máximo em
. - Desenhe a curva simétrica em ambos os lados do eixo Y, descendo suavemente em direção ao eixo X sem jamais tocá-lo.
- Indique que o eixo X é uma assíntota horizontal.
Resposta
O gráfico de
é uma curva em forma de sino, com o ponto mais alto em
, simétrica em relação ao eixo Y e aproximando-se do eixo X conforme
se afasta de zero, sem nunca tocar o eixo X.
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e