Esboce os gráficos das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar alguns conceitos de funções matemáticas, como domínio, interceptos, simetria, comportamentos assintóticos e pontos de máximo. Vamos destrinchar cada parte para entender melhor como essa função se comporta no gráfico.

Passo 2

Domínio da Função:
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função envolve uma exponencial, e sabemos que a exponencial está definida para todos os números reais. Portanto, o domínio de é:
í

Passo 3

Intercepto no Eixo Y:
O intercepto no eixo Y ocorre quando . Vamos calcular:
Então, o ponto de interseção com o eixo Y é .
Intercepto no Eixo X:
Para encontrar o intercepto no eixo X, resolvemos :
Sabemos que nunca é zero. Portanto, a função não intercepta o eixo X.

Passo 4

Simetria:
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Uma função é par se .
Como , a função é par. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y.

Passo 5

Comportamento Assintótico:
Vamos analisar o limite da função quando tende a mais ou menos infinito:
Então, o eixo X ( ) é uma assíntota horizontal para o gráfico de .

Passo 6

Pontos de Máximo:
Para encontrar pontos de máximo ou mínimo, vamos derivar a função e igualar a zero.
Primeiro, a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero:
Como nunca é zero, temos:
Portanto, é um ponto crítico. Avaliando a função nesse ponto:
Esse é o ponto de máximo da função.

Passo 7

Comportamento do Gráfico:
  • A função tem um único ponto de máximo em .
  • É simétrica em relação ao eixo Y.
  • Conforme se afasta de zero, positiva ou negativamente, se aproxima de zero, mas nunca toca o eixo X.

Passo 8

Esboço do Gráfico:
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico de da seguinte maneira:
  • Marque o ponto de máximo em .
  • Desenhe a curva simétrica em ambos os lados do eixo Y, descendo suavemente em direção ao eixo X sem jamais tocá-lo.
  • Indique que o eixo X é uma assíntota horizontal.

Resposta

O gráfico de é uma curva em forma de sino, com o ponto mais alto em , simétrica em relação ao eixo Y e aproximando-se do eixo X conforme se afasta de zero, sem nunca tocar o eixo X.

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