Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: precisamos descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a
. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
A função
é uma divisão de duas funções:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa. Como
é sempre positivo para
, o sinal da derivada depende de
.
Passo 5
Vamos resolver
para encontrar onde
:
Da mesma forma,
quando
.
Passo 6
Então, juntando tudo:
- Para
, , então está crescendo. - Para
, , então está decrescendo.
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e decrescendo no intervalo
.