Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
A função é uma divisão de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa. Como é sempre positivo para , o sinal da derivada depende de .
Passo 5
Vamos resolver para encontrar onde :
Da mesma forma, quando .
Passo 6
Então, juntando tudo:
Para , , então está crescendo.
Para , , então está decrescendo.
Resposta
A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .