Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

A função é uma divisão de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa. Como é sempre positivo para , o sinal da derivada depende de .

Passo 5

Vamos resolver para encontrar onde :
Da mesma forma, quando .

Passo 6

Então, juntando tudo:
  • Para , , então está crescendo.
  • Para , , então está decrescendo.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .

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A população de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
onde é um índice de qualidade de vida que varia de (qualidade extremamente baixa) a (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a anos,
para .
Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?
Esboce os gráficos das funções abaixo.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(iii)