Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Vamos estudar a função
focando na concavidade e nos pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente nas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
, que nos dá informações sobre a concavidade da função.
Passo 4
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos resolver
para encontrar possíveis pontos de inflexão.
Passo 5
Encontramos que
é um candidato a ponto de inflexão. Vamos verificar se a concavidade realmente muda nesse ponto.
Escolhemos valores próximos a
:
-
Para
, por exemplo, : A função é côncava para cima. -
Para
, por exemplo, : A função é côncava para baixo.
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por
, esse ponto é realmente um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Além disso, possui um ponto de inflexão em
.