Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Vamos estudar a função focando na concavidade e nos pontos de inflexão. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente nas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos dá informações sobre a concavidade da função.

Passo 4

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos resolver para encontrar possíveis pontos de inflexão.

Passo 5

Encontramos que é um candidato a ponto de inflexão. Vamos verificar se a concavidade realmente muda nesse ponto.
Escolhemos valores próximos a :
  • Para , por exemplo, :
    A função é côncava para cima.
  • Para , por exemplo, :
    A função é côncava para baixo.
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por , esse ponto é realmente um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . Além disso, possui um ponto de inflexão em .

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Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
A população de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
onde é um índice de qualidade de vida que varia de (qualidade extremamente baixa) a (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a anos,
para .
Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?
Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(iii)