Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é pedir para a gente esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e comportamento assintótico das funções exponenciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como as funções exponenciais
e
estão definidas para todo número real,
também está definida para todos os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos, começando pelo eixo y (intercepto y). Para isso, calculamos
:
Então, o gráfico passa pela origem (0,0).
Para encontrar o intercepto no eixo x, resolvemos
:
Como
nunca é zero, temos:
Portanto, o único intercepto é na origem (0,0).
Passo 4
Vamos encontrar agora as derivadas para entender o comportamento da função.
Primeira derivada de
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
, temos:
Esse é o ponto onde a função pode ter um máximo ou mínimo.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nos extremos, ou seja, quando
tende a
e
.
- Quando
:
[
e^{x} ) cresce exponencialmente, mas cresce muito mais rápido. Então,
e^{x} ) cresce exponencialmente, mas
- Quando
:
[
e^{x} ) e tendem a zero, mas
tende a zero mais lentamente que
. Portanto,
e^{x} ) e
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pela origem (0,0).
- Tem um ponto crítico em
, que corresponde a um máximo local. - Para
, tende a . - Para
, se aproxima de zero pelo lado negativo.
Resposta
O gráfico da função
apresenta um máximo local aproximadamente em
, passa pela origem (0,0), e tende a
quando
vai para
. Além disso, para
tendendo a
, a função se aproxima de zero pelo lado negativo. O esboço mostraria uma curva que sobe até o ponto máximo e depois desce rumo ao infinito negativo.
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anos,
para
.
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