Esboce os gráficos das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é pedir para a gente esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e comportamento assintótico das funções exponenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como as funções exponenciais e estão definidas para todo número real, também está definida para todos os valores de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos, começando pelo eixo y (intercepto y). Para isso, calculamos :
Então, o gráfico passa pela origem (0,0).
Para encontrar o intercepto no eixo x, resolvemos :
Como nunca é zero, temos:
Portanto, o único intercepto é na origem (0,0).

Passo 4

Vamos encontrar agora as derivadas para entender o comportamento da função.
Primeira derivada de :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como , temos:
Esse é o ponto onde a função pode ter um máximo ou mínimo.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nos extremos, ou seja, quando tende a e .
  • Quando :
[
e^{x} ) cresce exponencialmente, mas cresce muito mais rápido. Então,
  • Quando :
[
e^{x} ) e tendem a zero, mas tende a zero mais lentamente que . Portanto,

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pela origem (0,0).
  • Tem um ponto crítico em , que corresponde a um máximo local.
  • Para , tende a .
  • Para , se aproxima de zero pelo lado negativo.

Resposta

O gráfico da função apresenta um máximo local aproximadamente em , passa pela origem (0,0), e tende a quando vai para . Além disso, para tendendo a , a função se aproxima de zero pelo lado negativo. O esboço mostraria uma curva que sobe até o ponto máximo e depois desce rumo ao infinito negativo.

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