A população P de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
P(Q) = 3 Q^2 + 4 Q + 200
onde Q é um índice de qualidade de vida que varia de Q = 0 (qualidade extremamente baixa) a Q = 10 (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a t anos,
P(Q)=(t^2+2t+3)/(2t+1)
para 0 <= t <= 10.
Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas relações envolvendo a população de uma comunidade e o índice de qualidade de vida :
  1. Função da população em termos de :
    Aqui, está em milhares de habitantes e varia de 0 a 10.
  2. Função da população em termos do tempo :
    Essa função mostra como a população muda com o tempo, onde está em anos e varia de 0 a 10.
Queremos descobrir:
  • O valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos ( ).
  • A população nessa ocasião.
Para resolver isso, precisaremos usar as duas funções e substituir na segunda função para encontrar , e então usar esse valor para encontrar na primeira função.

Passo 2

Vamos calcular a população daqui a 4 anos usando a função que depende do tempo :
Substituindo :
Então, a população daqui a 4 anos será de 3 mil habitantes.

Passo 3

Agora, vamos usar o valor de na função que relaciona a população com o índice de qualidade de vida :
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar :
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Essa é uma equação do segundo grau na forma , onde:
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante ( ):

Passo 5

O discriminante é negativo ( ), o que significa que não há soluções reais para . Isso indica que, de acordo com as funções fornecidas, não existe um valor real de qualidade de vida que corresponda a uma população de 3 mil habitantes daqui a 4 anos.

Resposta

Não existe um valor real para o índice de qualidade de vida daqui a 4 anos que satisfaça as funções fornecidas.

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