Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática, como domínio da função, assíntotas, interceptos com os eixos, e comportamento da função em diferentes intervalos. Vamos precisar analisar limites, derivadas e identificar pontos importantes para desenhar o gráfico de forma precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Nesse caso, o denominador é
, que não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida.
Então, o domínio da função é todos os números reais menos zero:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
. Porém, como
não está no domínio, a função não tem intercepto com o eixo
.
Para encontrar os interceptos com o eixo
, resolvemos
:
Essa equação cúbica pode ser resolvida por tentativa e erro ou usando métodos mais avançados, mas para simplificar, consideramos que há uma raiz real próxima de
. Portanto, o intercepto com o eixo
é aproximadamente em
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função. Primeiro, a assíntota vertical ocorre onde a função não está definida, ou seja, em
.
Para a assíntota horizontal, examinamos o comportamento da função quando
tende ao infinito:
Como o limite tende ao infinito, não há assíntota horizontal. Também podemos verificar se existe uma assíntota oblíqua dividindo
em termos de polinômios:
Quando
, os termos
e
tendem a zero, então a assíntota oblíqua é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos:
-
Para
: - Conforme
aumenta, se comporta como , então o gráfico sobe linearmente.
- Conforme
-
Para
: - Conforme
diminui (mais negativo), também segue o comportamento de , descendo linearmente.
- Conforme
Entre esses comportamentos, a função pode ter curvas que passam pelo intercepto e se aproximam das assíntotas.
Passo 6
Finalmente, vamos esboçar o gráfico utilizando todas as informações coletadas:
- Domínio:
- Intercepto com
: Aproximadamente em - Assíntota vertical:
- Assíntota oblíqua:
- Comportamento:
- Para
, o gráfico sobe em direção à linha - Para
, o gráfico desce em direção à linha
- Para
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota oblíqua em
, intercepta o eixo
aproximadamente em
e segue a linha
nos extremos positivos e negativos de
. O esboço mostra uma curva que se aproxima da assíntota oblíqua conforme
tende ao infinito positivo e negativo, passando pelo ponto de interceptação identificado.
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Esboce os gráficos das funções abaixo.
Sabendo que
, prove que
.