Esboce os gráficos das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática, como domínio da função, assíntotas, interceptos com os eixos, e comportamento da função em diferentes intervalos. Vamos precisar analisar limites, derivadas e identificar pontos importantes para desenhar o gráfico de forma precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Nesse caso, o denominador é , que não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida.
Então, o domínio da função é todos os números reais menos zero:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico. Primeiro, o intercepto com o eixo ocorre quando . Porém, como não está no domínio, a função não tem intercepto com o eixo .
Para encontrar os interceptos com o eixo , resolvemos :
Essa equação cúbica pode ser resolvida por tentativa e erro ou usando métodos mais avançados, mas para simplificar, consideramos que há uma raiz real próxima de . Portanto, o intercepto com o eixo é aproximadamente em .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. Primeiro, a assíntota vertical ocorre onde a função não está definida, ou seja, em .
Para a assíntota horizontal, examinamos o comportamento da função quando tende ao infinito:
Como o limite tende ao infinito, não há assíntota horizontal. Também podemos verificar se existe uma assíntota oblíqua dividindo em termos de polinômios:
Quando , os termos e tendem a zero, então a assíntota oblíqua é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos:
  • Para :
    • Conforme aumenta, se comporta como , então o gráfico sobe linearmente.
  • Para :
    • Conforme diminui (mais negativo), também segue o comportamento de , descendo linearmente.
Entre esses comportamentos, a função pode ter curvas que passam pelo intercepto e se aproximam das assíntotas.

Passo 6

Finalmente, vamos esboçar o gráfico utilizando todas as informações coletadas:
  • Domínio:
  • Intercepto com : Aproximadamente em
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota oblíqua:
  • Comportamento:
    • Para , o gráfico sobe em direção à linha
    • Para , o gráfico desce em direção à linha

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , uma assíntota oblíqua em , intercepta o eixo aproximadamente em e segue a linha nos extremos positivos e negativos de . O esboço mostra uma curva que se aproxima da assíntota oblíqua conforme tende ao infinito positivo e negativo, passando pelo ponto de interceptação identificado.

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