Encontre sobre a curva
, o ponto mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto na curva
que está mais pertinho do ponto
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e geometria analítica. Vamos precisar calcular a distância entre dois pontos e depois minimizar essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada pela fórmula:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o ponto
na curva
que minimize essa distância
. Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância
, já que a função quadrática tem o mesmo mínimo que a raiz quadrada.
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essa expressão com a equação da curva
. Podemos isolar
na equação da curva:
Passo 5
Vamos substituir
na expressão de
:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 6
Agora, queremos minimizar
. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a derivada a zero para encontrar o valor de
que minimiza a distância.
A derivada de
em relação a
é:
Igualando a zero:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar o valor correspondente de
usando a equação da curva:
Então,
Passo 8
Temos dois pontos possíveis:
e
. Ambos estão na curva e a mesma distância de
. Portanto, os pontos mais próximos são esses dois.
Resposta
Os pontos mais próximos de
na curva
são
e
.
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e
.
Obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.