Encontre sobre a curva y^2 - x^2 = 1, o ponto mais próximo do ponto A(-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto na curva que está mais pertinho do ponto . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e geometria analítica. Vamos precisar calcular a distância entre dois pontos e depois minimizar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos e , a distância entre eles é dada pela fórmula:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o ponto na curva que minimize essa distância . Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância , já que a função quadrática tem o mesmo mínimo que a raiz quadrada.
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essa expressão com a equação da curva . Podemos isolar na equação da curva:

Passo 5

Vamos substituir na expressão de :
Vamos expandir e simplificar:

Passo 6

Agora, queremos minimizar . Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a derivada a zero para encontrar o valor de que minimiza a distância.
A derivada de em relação a é:
Igualando a zero:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar o valor correspondente de usando a equação da curva:
Então,

Passo 8

Temos dois pontos possíveis: e . Ambos estão na curva e a mesma distância de . Portanto, os pontos mais próximos são esses dois.

Resposta

Os pontos mais próximos de na curva são e .

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