Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função sob a condição de que . Isso envolve o uso dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização usada quando temos restrições nas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, quando queremos otimizar (maximizar ou minimizar) uma função com restrições, a gente adiciona essas restrições à função original multiplicando-as por um fator (chamado de multiplicador de Lagrange, geralmente representado por ). Isso nos permite transformar um problema com restrição em um problema sem restrição.
Então, para o nosso caso, vamos montar a função de Lagrange :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde o gradiente de é zero. Isso significa que vamos derivar em relação a cada variável ( , , , e ) e igualar a zero.
Vamos fazer as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a (a restrição):

Passo 4

Vamos simplificar as equações das derivadas parciais com respeito a , e :
Para :
Isso nos dá duas possibilidades:
O mesmo vale para e :

Passo 5

Agora, precisamos considerar as diferentes possibilidades onde cada variável pode ser zero ou não.
Caso 1: Todas as variáveis são iguais:
Sendo assim, a restrição se torna:
Portanto:
Caso 2: Uma das variáveis é zero, digamos , e
A restrição fica:
Então:
Caso 3: Duas variáveis são zero, por exemplo, , então (ou )
Assim:

Passo 6

Agora, comparando os valores encontrados nos diferentes casos:
  • Quando ,
  • Quando uma variável é zero,
  • Quando duas variáveis são zero,
Portanto, o valor máximo de é e o valor mínimo é .

Resposta

O valor máximo da função é e o valor mínimo é .

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