Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a condição de que
. Isso envolve o uso dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização usada quando temos restrições nas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, quando queremos otimizar (maximizar ou minimizar) uma função com restrições, a gente adiciona essas restrições à função original multiplicando-as por um fator (chamado de multiplicador de Lagrange, geralmente representado por
). Isso nos permite transformar um problema com restrição em um problema sem restrição.
Então, para o nosso caso, vamos montar a função de Lagrange
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde o gradiente de
é zero. Isso significa que vamos derivar
em relação a cada variável (
,
,
, e
) e igualar a zero.
Vamos fazer as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a restrição):
Passo 4
Vamos simplificar as equações das derivadas parciais com respeito a
,
e
:
Para
:
Isso nos dá duas possibilidades:
O mesmo vale para
e
:
Passo 5
Agora, precisamos considerar as diferentes possibilidades onde cada variável pode ser zero ou não.
Caso 1: Todas as variáveis são iguais:
Sendo assim, a restrição
se torna:
Portanto:
Caso 2: Uma das variáveis é zero, digamos
, e
A restrição fica:
Então:
Caso 3: Duas variáveis são zero, por exemplo,
, então
(ou
)
Assim:
Passo 6
Agora, comparando os valores encontrados nos diferentes casos:
- Quando
, - Quando uma variável é zero,
- Quando duas variáveis são zero,
Portanto, o valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.
Resposta
O valor máximo da função é
e o valor mínimo é
.
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