Determine os intervalos nos quais a função é crescente e decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo , então vamos resolver:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 5

Com os pontos críticos em mãos, vamos analisar os intervalos determinados por eles para ver onde a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Os intervalos são:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e verificar o sinal de .
  • Intervalo 1: Escolha :
  • Intervalo 2: Escolha :
  • Intervalo 3: Escolha :

Resposta

A função está decrescente nos intervalos e , e está crescente no intervalo .

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Determine os intervalos nos quais a função é crescente e decrescente;
Determine os pontos críticos das funções abaixo:
Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).