Determine os intervalos nos quais a função é crescente e decrescente;

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir em quais intervalos a função está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de crescimento e queda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada, denotada por , nos diz a taxa de variação da função. Se for positiva em um intervalo, a função está aumentando lá. Se for negativa, está diminuindo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos vão nos ajudar a dividir a linha dos números reais em intervalos para analisar o comportamento da função.
Resolvendo :
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Dividindo por 3:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um único ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelo ponto crítico :
  1. Intervalo :
    Escolhemos um valor, por exemplo, :
    Como a derivada é positiva, a função está crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolhemos um valor, por exemplo, :
    A derivada também é positiva aqui, então a função continua crescente nesse intervalo.

Resposta

A função está crescente em todos os intervalos reais, ou seja, em , e não apresenta intervalos onde está decrescendo.

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Determine os pontos críticos das funções abaixo:
Determine os pontos críticos das funções abaixo:
Determine os intervalos nos quais a função é crescente e decrescente;
Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).