Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximos ou mínimos. Além disso, precisamos descobrir em quais intervalos o gráfico dessa função é côncavo para cima, côncavo para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar o que a gente aprende sobre derivadas na matemática, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos dá a inclinação da função em cada ponto, e os pontos críticos são onde essa inclinação é zero (ou onde a derivada não existe, mas nesse caso nossa função é polinomial, então não precisamos nos preocupar com isso).
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos, vamos usar a derivada segunda, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a derivada segunda de
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Em
:
Quando a derivada segunda é positiva, a função é côncava para cima e o ponto crítico é um mínimo.
- Em
:
Quando a derivada segunda é negativa, a função é côncava para baixo e o ponto crítico é um máximo.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função. Já temos a derivada segunda:
Vamos encontrar onde
é positiva ou negativa:
- Côncava para cima (
):
Então, para
, a função é côncava para cima.
- Côncava para baixo (
):
Então, para
, a função é côncava para baixo.
Passo 6
Vamos procurar possíveis pontos de inflexão, que são onde a concavidade muda. Isso acontece quando
:
Então, em
existe um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: mínimo. -
: máximo.
A concavidade da função é:
- Côncava para cima no intervalo
. - Côncava para baixo no intervalo
.
Existe um ponto de inflexão em
.
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