Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como máximos ou mínimos. Além disso, precisamos descobrir em quais intervalos o gráfico dessa função é côncavo para cima, côncavo para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar o que a gente aprende sobre derivadas na matemática, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada primeira nos dá a inclinação da função em cada ponto, e os pontos críticos são onde essa inclinação é zero (ou onde a derivada não existe, mas nesse caso nossa função é polinomial, então não precisamos nos preocupar com isso).
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos, vamos usar a derivada segunda, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a derivada segunda de :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Em :
Quando a derivada segunda é positiva, a função é côncava para cima e o ponto crítico é um mínimo.
  1. Em :
Quando a derivada segunda é negativa, a função é côncava para baixo e o ponto crítico é um máximo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função. Já temos a derivada segunda:
Vamos encontrar onde é positiva ou negativa:
  1. Côncava para cima ( ):
Então, para , a função é côncava para cima.
  1. Côncava para baixo ( ):
Então, para , a função é côncava para baixo.

Passo 6

Vamos procurar possíveis pontos de inflexão, que são onde a concavidade muda. Isso acontece quando :
Então, em existe um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : mínimo.
  • : máximo.
A concavidade da função é:
  • Côncava para cima no intervalo .
  • Côncava para baixo no intervalo .
Existe um ponto de inflexão em .

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Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
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