Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e as condições que tornam essa função definida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro da raiz quadrada, ou seja,
. Para a função ser real e definida:
- O denominador não pode ser zero, então
, o que significa que . - A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é real. Portanto,
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Para isso, identificamos os pontos críticos onde a expressão é igual a zero ou o denominador é zero:
-
→ -
→
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
,
e
. Vamos testar um número em cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou zero.
Passo 4
-
Intervalo
: - Escolha
: A expressão é positiva.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: A expressão é negativa.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: A expressão é positiva.
- Escolha
Passo 5
Além disso, no ponto
, a expressão dentro da raiz é zero, o que é permitido (
). Porém, no ponto
, o denominador se anula, o que não é permitido.
Resposta
A função
é contínua nos intervalos
e
.