Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem com que a função seja contínua em todo o conjunto dos números reais . A função é definida por partes:
Para garantir a continuidade da função em , precisamos que não haja “saltos” ou “quebras” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em . Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (valores menores que 2) e pelo lado direito (valores maiores que 2). A função deve ter o mesmo valor nesses dois limites para ser contínua em .
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em são indefinido (já que não aparece na definição da função) e .

Exercícios relacionados

Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
;
Discuta a continuidade das funções abaixo:
;
Seja uma função que é contínua em 0 e tal que para todo . Mostre que é contínua em todo ponto .