Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem com que a função seja contínua em todo o conjunto dos números reais . A função é definida por partes:
Para garantir a continuidade da função em , precisamos que não haja “saltos” ou “quebras” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em . Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (valores menores que 2) e pelo lado direito (valores maiores que 2). A função deve ter o mesmo valor nesses dois limites para ser contínua em .
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela direita ():
Passo 4
Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .
Passo 5
Subtraindo de ambos os lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em são indefinido (já que não aparece na definição da função) e .