Encontre os valores de
e
que fazem com que a função
dada abaixo seja contínua em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
e
que fazem com que a função
seja contínua em todo o conjunto dos números reais
. A função é definida por partes:
Para garantir a continuidade da função em
, precisamos que não haja “saltos” ou “quebras” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em
. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (valores menores que 2) e pelo lado direito (valores maiores que 2). A função deve ter o mesmo valor nesses dois limites para ser contínua em
.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
Passo 4
Para que a função seja contínua em
, os dois limites devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Os valores que tornam a função
contínua em
são
indefinido (já que
não aparece na definição da função) e
.