Encontre os valores de c e k que fazem com que a função f dada abaixo seja contínua em R :
f(x) = { k*x^2, se x <= 2; k*x - 1, se x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem com que a função seja contínua em todo o conjunto dos números reais . A função é definida por partes:
Para garantir a continuidade da função em , precisamos que não haja “saltos” ou “quebras” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em . Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo (valores menores que 2) e pelo lado direito (valores maiores que 2). A função deve ter o mesmo valor nesses dois limites para ser contínua em .
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em são indefinido (já que não aparece na definição da função) e .

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