Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de continuidade de funções, parte do conteúdo de Cálculo. A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todos os números reais. Para isso, vamos analisar os pontos onde a função muda de expressão e garantir que não haja “saltos” nessas transições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para o enunciado, vemos que isso acontece em e . Para garantir que a função seja contínua nesses pontos, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar analisando a continuidade em . A função tem duas expressões que se encontram aqui:
  • Para :
  • Para :
Devemos fazer com que o limite quando se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite pela direita:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade em . As expressões envolvidas são:
  • Para :
  • Para :
Novamente, igualamos os limites:
Substituindo :

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver a primeira equação para :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos de volta para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em são e .

Exercícios relacionados

Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
.
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
;
Seja a função definida por
éãé
Em quais pontos é contínua?