Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de continuidade de funções, parte do conteúdo de Cálculo. A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todos os números reais. Para isso, vamos analisar os pontos onde a função muda de expressão e garantir que não haja “saltos” nessas transições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para o enunciado, vemos que isso acontece em e . Para garantir que a função seja contínua nesses pontos, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar analisando a continuidade em . A função tem duas expressões que se encontram aqui:
Para :
Para :
Devemos fazer com que o limite quando se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite pela direita:
Substituindo :
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade em . As expressões envolvidas são:
Para :
Para :
Novamente, igualamos os limites:
Substituindo :
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver a primeira equação para :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos de volta para encontrar :
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em são e .