Encontre os valores de c e k que fazem com que a função f dada abaixo seja contínua em R :
f(x)=cc x+2 c, & se x<-2 3 c x+k, & se -2 <= x <= 1 3 x-2 k, & se x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de continuidade de funções, parte do conteúdo de Cálculo. A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em todos os números reais. Para isso, vamos analisar os pontos onde a função muda de expressão e garantir que não haja “saltos” nessas transições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para o enunciado, vemos que isso acontece em e . Para garantir que a função seja contínua nesses pontos, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar analisando a continuidade em limx to -2^- (x + 2c) = limx to -2^+ (3cx + k) . A função tem duas expressões que se encontram aqui:
  • Para -2 + 2c = 3c(-2) + k -2 + 2c = -6c + k :
  • Para :
Devemos fazer com que o limite quando se aproxima de pela esquerda seja igual ao limite pela direita:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade em limx to 1^- (3cx + k) = limx to 1^+ (3x - 2k) . As expressões envolvidas são:
  • Para 3c(1) + k = 3(1) - 2k 3c + k = 3 - 2k :
  • Para :
Novamente, igualamos os limites:
Substituindo :

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações para resolver:
  1. -2 + 2c = -6c + k k = 8c - 2
  2. 3c + (8c - 2) = 3 - 2(8c - 2) 11c - 2 = 3 - 16c + 4 27c = 5 c = 527
Vamos resolver a primeira equação para k = 8(527) - 2 = 4027 - 5427 = -1427 :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos de volta para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em são e .

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