Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de cálculo diferencial! A gente precisa analisar a função
para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade está para cima ou para baixo, encontrar os pontos de máximo e mínimo (os extremos relativos) e os pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se está crescendo ou decrescendo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes da derivada primeira para saber onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Isso vai nos ajudar a identificar os extremos relativos.
Resolvendo
:
Dividindo tudo por 12 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com as raízes
e
, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente testando valores nas regiões determinadas por essas raízes.
- Para
, por exemplo, :
[ f’(0) = 324 - 0 + 0 = 324 ) (Positivo) → Crescente
- Entre
, por exemplo, :
[ f’(6) = 324 - 144(6) + 12(36) = 324 - 864 + 432 = -108 ) (Negativo) → Decrescente
- Para
, por exemplo, :
[ f’(12) = 324 - 144(12) + 12(144) = 324 - 1728 + 1728 = 324 ) (Positivo) → Crescente
Então, a função é crescente em
e
, e decrescente em
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira.
-
No ponto
:
Como a função muda de crescente para decrescente,é um ponto de máximo relativo. -
No ponto
:
Como a função muda de decrescente para crescente,é um ponto de mínimo relativo.
Vamos calcular os valores desses pontos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função encontrando a derivada segunda.
Vamos encontrar onde
para descobrir os pontos de inflexão:
Passo 7
Vamos determinar os intervalos de concavidade testando valores nos intervalos definidos por
.
- Para
, por exemplo, :
[ f’’(0) = -144 + 0 = -144 ) (Negativo) → Concavidade para baixo
- Para
, por exemplo, :
[ f’’(9) = -144 + 216 = 72 ) (Positivo) → Concavidade para cima
Então, a concavidade é para baixo em
e para cima em
.
Passo 8
Identificamos que em
ocorre uma mudança na concavidade, então esse ponto é um ponto de inflexão.
Calculando o valor:
Passo 9
Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Crescente em
e - Decrescente em
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
- Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
- Ponto de inflexão em
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente em
. A concavidade está para baixo em
e para cima em
. Os extremos relativos são um máximo relativo em
com valor
e um mínimo relativo em
com valor
. Há um ponto de inflexão em
com valor
. O esboço da curva refletiria esses comportamentos e pontos específicos.
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