Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de cálculo diferencial! A gente precisa analisar a função para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade está para cima ou para baixo, encontrar os pontos de máximo e mínimo (os extremos relativos) e os pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se está crescendo ou decrescendo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da derivada primeira para saber onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Isso vai nos ajudar a identificar os extremos relativos.
Resolvendo :
Dividindo tudo por 12 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 4

Com as raízes e , vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente testando valores nas regiões determinadas por essas raízes.
  • Para , por exemplo, :
[ f’(0) = 324 - 0 + 0 = 324 ) (Positivo) → Crescente
  • Entre , por exemplo, :
[ f’(6) = 324 - 144(6) + 12(36) = 324 - 864 + 432 = -108 ) (Negativo) → Decrescente
  • Para , por exemplo, :
[ f’(12) = 324 - 144(12) + 12(144) = 324 - 1728 + 1728 = 324 ) (Positivo) → Crescente
Então, a função é crescente em e , e decrescente em .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira.
  • No ponto :
    Como a função muda de crescente para decrescente, é um ponto de máximo relativo.
  • No ponto :
    Como a função muda de decrescente para crescente, é um ponto de mínimo relativo.
Vamos calcular os valores desses pontos:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função encontrando a derivada segunda.
Vamos encontrar onde para descobrir os pontos de inflexão:

Passo 7

Vamos determinar os intervalos de concavidade testando valores nos intervalos definidos por .
  • Para , por exemplo, :
[ f’’(0) = -144 + 0 = -144 ) (Negativo) → Concavidade para baixo
  • Para , por exemplo, :
[ f’’(9) = -144 + 216 = 72 ) (Positivo) → Concavidade para cima
Então, a concavidade é para baixo em e para cima em .

Passo 8

Identificamos que em ocorre uma mudança na concavidade, então esse ponto é um ponto de inflexão.
Calculando o valor:

Passo 9

Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Crescente em e
  • Decrescente em
  • Máximo relativo em
  • Mínimo relativo em
  • Concavidade para baixo em
  • Concavidade para cima em
  • Ponto de inflexão em

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e decrescente em . A concavidade está para baixo em e para cima em . Os extremos relativos são um máximo relativo em com valor e um mínimo relativo em com valor . Há um ponto de inflexão em com valor . O esboço da curva refletiria esses comportamentos e pontos específicos.

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