Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada da função para identificar onde a inclinação é zero ou onde a derivada não existe.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma divisão de duas funções. A regra diz que:
Onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
Como o denominador nunca é zero (já que
para todo
), a única forma da fração ser zero é se o numerador for zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Vamos usar a segunda derivada para facilitar.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
. Diferenciando
:
Usando a regra do quociente novamente:
Isso simplifica para:
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos:
Para
:
Como
, temos um máximo relativo em
.
Para
:
Como
, temos um mínimo relativo em
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. O ponto
é um máximo relativo e o ponto
é um mínimo relativo.
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;
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