Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada da função para identificar onde a inclinação é zero ou onde a derivada não existe.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma divisão de duas funções. A regra diz que:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
Como o denominador nunca é zero (já que para todo ), a única forma da fração ser zero é se o numerador for zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Vamos usar a segunda derivada para facilitar.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada . Diferenciando :
Usando a regra do quociente novamente:
Isso simplifica para:
Agora, vamos avaliar nos pontos críticos:
Para :
Como , temos um máximo relativo em .
Para :
Como , temos um mínimo relativo em .

Resposta

Os pontos críticos da função são e . O ponto é um máximo relativo e o ponto é um mínimo relativo.

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