Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e depois dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função tem seus pontos críticos. A função é:
Vamos chamar de
, então
.
Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar
.
Passo 3
Vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Voltando à derivada de
:
Substituindo
:
Podemos simplificar:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
ou onde
não está definida.
Observando a expressão de
, percebemos que o numerador é constante (
), e a derivada nunca será zero. Então, os pontos críticos ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde
.
Resolvendo:
Passo 6
Vamos analisar o ponto crítico
.
Primeiro, vemos que no
, o denominador da função original
também é zero, o que significa que a função não está definida nesse ponto. Portanto,
não está no domínio da função e não é considerado um ponto crítico válido para classificação.
Passo 7
Como encontramos apenas
como possível ponto crítico, mas ele não está no domínio da função, concluímos que a função
não possui pontos críticos no seu domínio.
Resposta
A função
não possui pontos críticos no seu domínio.
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