Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e depois dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função tem seus pontos críticos. A função é:
Vamos chamar de , então .
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada de é:

Passo 4

Voltando à derivada de :
Substituindo :
Podemos simplificar:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde ou onde não está definida.
Observando a expressão de , percebemos que o numerador é constante ( ), e a derivada nunca será zero. Então, os pontos críticos ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde .
Resolvendo:

Passo 6

Vamos analisar o ponto crítico .
Primeiro, vemos que no , o denominador da função original também é zero, o que significa que a função não está definida nesse ponto. Portanto, não está no domínio da função e não é considerado um ponto crítico válido para classificação.

Passo 7

Como encontramos apenas como possível ponto crítico, mas ele não está no domínio da função, concluímos que a função não possui pontos críticos no seu domínio.

Resposta

A função não possui pontos críticos no seu domínio.

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