Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos são os valores de
onde a derivada da função
é igual a zero ou não existe. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a derivada de
.
Passo 3
Para derivar
, que é uma fração, vamos usar a Regra do Quociente. A regra diz que se temos uma função
, a derivada é:
Neste caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por
:
Então,
Passo 6
Encontramos os pontos críticos resolvendo
ou onde
não existe.
- Quando
:
- Quando
não existe:
Isso ocorre se o denominador for zero ou se
não estiver definido, mas como
, só temos o ponto
. Porém,
não está no domínio da função original
.
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Para classificar o ponto crítico
, vamos analisar a derivada segunda
ou usar o teste da primeira derivada. Mas vamos optar pelo teste da primeira derivada para simplificar.
- Para
: Escolhemos . Calculando , vemos que é positivo. - Para
: Escolhemos . Calculando , vemos que é negativo.
Como a derivada passa de positiva para negativa, isso indica que
é um máximo relativo.
Resposta
O ponto crítico da função é
, que é um máximo relativo.
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