Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas para analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos são os valores de onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

Para derivar , que é uma fração, vamos usar a Regra do Quociente. A regra diz que se temos uma função , a derivada é:
Neste caso, e .

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por :
Então,

Passo 6

Encontramos os pontos críticos resolvendo ou onde não existe.
  1. Quando :
  1. Quando não existe:
Isso ocorre se o denominador for zero ou se não estiver definido, mas como , só temos o ponto . Porém, não está no domínio da função original .
Então, o único ponto crítico é .

Passo 7

Para classificar o ponto crítico , vamos analisar a derivada segunda ou usar o teste da primeira derivada. Mas vamos optar pelo teste da primeira derivada para simplificar.
  • Para : Escolhemos . Calculando , vemos que é positivo.
  • Para : Escolhemos . Calculando , vemos que é negativo.
Como a derivada passa de positiva para negativa, isso indica que é um máximo relativo.

Resposta

O ponto crítico da função é , que é um máximo relativo.

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