Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que, t semanas após o início de um surto, N centenas de casos novos são relatados, onde
N(t) = 5t / (12 + t^2)
Em que semana o número de casos da doença é máximo? Qual é o número máximo de casos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma epidemiologista observou como uma doença se espalha ao longo do tempo. A função que descreve o número de casos novos, em centenas, após semanas é:
Nosso objetivo aqui é descobrir em qual semana o número de casos chega ao máximo e qual é esse número máximo de casos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está nos dizendo. A função nos dá o número de novos casos, em centenas, em função do tempo em semanas. Para encontrar quando atinge o seu valor máximo, precisamos encontrar o valor de que faz ser o maior possível.

Passo 3

Para achar o valor máximo dessa função, vamos usar cálculo diferencial. Especificamente, vamos encontrar a derivada de em relação a , igualar essa derivada a zero e resolver para . O ponto onde a derivada é zero pode ser um ponto de máximo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra do quociente para derivar , temos:

Passo 5

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O numerador precisa ser zero para que a fração inteira seja zero:
Como representa semanas, vamos arredondar para duas casas decimais: semanas.

Passo 6

Agora que sabemos que o número de casos atinge seu máximo por volta de 3,46 semanas, vamos calcular esse número máximo de casos substituindo na função original:
Convertendo para casos reais:

Resposta

O número de casos da doença é máximo aproximadamente na semana 3,46 e o número máximo de casos é cerca de 72,1 casos.

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