Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que,
semanas após o início de um surto,
centenas de casos novos são relatados, onde
Em que semana o número de casos da doença é máximo? Qual é o número máximo de casos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma epidemiologista observou como uma doença se espalha ao longo do tempo. A função que descreve o número de casos novos, em centenas, após
semanas é:
Nosso objetivo aqui é descobrir em qual semana
o número de casos
chega ao máximo e qual é esse número máximo de casos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função está nos dizendo. A função
nos dá o número de novos casos, em centenas, em função do tempo
em semanas. Para encontrar quando
atinge o seu valor máximo, precisamos encontrar o valor de
que faz
ser o maior possível.
Passo 3
Para achar o valor máximo dessa função, vamos usar cálculo diferencial. Especificamente, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, igualar essa derivada a zero e resolver para
. O ponto onde a derivada é zero pode ser um ponto de máximo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra do quociente para derivar
, temos:
Passo 5
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O numerador precisa ser zero para que a fração inteira seja zero:
Como
representa semanas, vamos arredondar para duas casas decimais:
semanas.
Passo 6
Agora que sabemos que o número de casos atinge seu máximo por volta de 3,46 semanas, vamos calcular esse número máximo de casos substituindo
na função original:
Convertendo para casos reais:
Resposta
O número de casos da doença é máximo aproximadamente na semana 3,46 e o número máximo de casos é cerca de 72,1 casos.