Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função
. Precisamos descobrir onde essa função está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade está para cima ou para baixo, encontrar os pontos de máximo e mínimo (extremos relativos) e os pontos de inflexão. Para tudo isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira para analisar o crescimento e decrescimento e a segunda para a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a primeira derivada a zero:
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são
,
, e
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da primeira derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo:
- Para
: (negativo) - Para
: (positivo) - Para
: (negativo) - Para
: (positivo)
Passo 5
Com base nos sinais da primeira derivada:
-
Crescendo quando
: -
-
Decrescendo quando
: -
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
para analisar a concavidade:
Passo 7
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Isso ocorre quando:
Então, os possíveis pontos de inflexão são
,
, e
.
Passo 8
Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
Dividimos a linha dos números com base nos pontos encontrados:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo:
- Para
: (positivo) - Para
: (positivo) - Para
: (negativo) - Para
: Similar ao , - Para
: (positivo)
Passo 9
Com base nos sinais da segunda derivada:
-
Concavidade para cima quando
: -
-
Concavidade para baixo quando
: -
Passo 10
Agora, vamos identificar os extremos relativos usando os pontos críticos:
- Em
e , a função muda de decrescente para crescente, indicando mínimos locais. - Em
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
Passo 11
Para os pontos de inflexão, observamos onde a concavidade muda:
-
e são pontos de inflexão, pois a concavidade muda nesses pontos.
Passo 12
Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico:
- A função tem mínimos em
e , e um máximo em . - A concavidade é para cima fora de
e para baixo dentro desse intervalo. - Pertos de inflexão em
.
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente nos intervalos
e . - Com concavidade para cima em
, , e . - Com concavidade para baixo em
. - Possui mínimos relativos em
e , e um máximo relativo em . - Tem pontos de inflexão em
. - O esboço da curva deve refletir esses comportamentos, mostrando os pontos de máximo e mínimo, as mudanças na concavidade e os pontos de inflexão.
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semanas após o início de um surto,
centenas de casos novos são relatados, onde
Determine
e
.
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