Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função . Precisamos descobrir onde essa função está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade está para cima ou para baixo, encontrar os pontos de máximo e mínimo (extremos relativos) e os pontos de inflexão. Para tudo isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira para analisar o crescimento e decrescimento e a segunda para a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajudará a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a primeira derivada a zero:
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são , , e .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da primeira derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo:
  • Para : (negativo)
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
  • Para : (positivo)

Passo 5

Com base nos sinais da primeira derivada:
  • Crescendo quando :
  • Decrescendo quando :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de para analisar a concavidade:

Passo 7

Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Isso ocorre quando:
Então, os possíveis pontos de inflexão são , , e .

Passo 8

Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
Dividimos a linha dos números com base nos pontos encontrados:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo:
  • Para : (positivo)
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
  • Para : Similar ao ,
  • Para : (positivo)

Passo 9

Com base nos sinais da segunda derivada:
  • Concavidade para cima quando :
  • Concavidade para baixo quando :

Passo 10

Agora, vamos identificar os extremos relativos usando os pontos críticos:
  • Em e , a função muda de decrescente para crescente, indicando mínimos locais.
  • Em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.

Passo 11

Para os pontos de inflexão, observamos onde a concavidade muda:
  • e são pontos de inflexão, pois a concavidade muda nesses pontos.

Passo 12

Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico:
  • A função tem mínimos em e , e um máximo em .
  • A concavidade é para cima fora de e para baixo dentro desse intervalo.
  • Pertos de inflexão em .

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente nos intervalos e .
  • Com concavidade para cima em , , e .
  • Com concavidade para baixo em .
  • Possui mínimos relativos em e , e um máximo relativo em .
  • Tem pontos de inflexão em .
  • O esboço da curva deve refletir esses comportamentos, mostrando os pontos de máximo e mínimo, as mudanças na concavidade e os pontos de inflexão.

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