Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que,
semanas após o início de um surto,
centenas de casos novos são relatados, onde
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma doença se espalha ao longo do tempo. Especificamente, ele dá uma função
, que mostra quantos novos casos aparecem a cada semana
. Nosso objetivo aqui é encontrar a primeira derivada
e a segunda derivada
dessa função. Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. A primeira derivada
vai nos dizer a taxa de variação dos novos casos por semana, e a segunda derivada
vai nos mostrar como essa taxa de variação está mudando.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada
. A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se você tem uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Precisamos derivar
. Vamos reescrever
para facilitar:
Vamos aplicar novamente a regra do quociente. Desta vez, seja
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos
e
:
Para
, usamos a regra da cadeia. Se
onde
, então:
Passo 8
Aplicando a regra do quociente novamente:
Podemos fatorar
do numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então,
Resposta
As derivadas são:
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.