Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que, semanas após o início de um surto, centenas de casos novos são relatados, onde
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma doença se espalha ao longo do tempo. Especificamente, ele dá uma função , que mostra quantos novos casos aparecem a cada semana . Nosso objetivo aqui é encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. A primeira derivada vai nos dizer a taxa de variação dos novos casos por semana, e a segunda derivada vai nos mostrar como essa taxa de variação está mudando.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se você tem uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar . Vamos reescrever para facilitar:
Vamos aplicar novamente a regra do quociente. Desta vez, seja e .

Passo 7

Primeiro, calculamos e :
Para , usamos a regra da cadeia. Se onde , então:

Passo 8

Aplicando a regra do quociente novamente:
Podemos fatorar do numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então,

Resposta

As derivadas são:

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