Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para identificar onde a função tem essas características especiais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem possíveis máximos ou mínimos.
A função é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é uma expressão polinomial, ela existe para todo . Então, só precisamos resolver:
Isso acontece quando:
Resolvendo :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, vamos usar a derivada segunda , que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, vamos derivar :
Aplicando a regra do produto e da cadeia:
Fatorando:

Passo 5

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
    Mas precisamos verificar o sinal em torno de . Observando que a função tem um mínimo suave nesse ponto, podemos concluir que é um mínimo relativo.
  2. Para :
    Como a derivada segunda é negativa, a função é côncava para baixo, indicando um máximo relativo.
  3. Para :
    Similar ao , analisando o comportamento próximo a , vemos que é um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo relativo
  • : Máximo relativo
  • : Mínimo relativo

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