Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para identificar onde a função tem essas características especiais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem possíveis máximos ou mínimos.
A função é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é uma expressão polinomial, ela existe para todo
. Então, só precisamos resolver:
Isso acontece quando:
Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, vamos usar a derivada segunda
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, vamos derivar
:
Aplicando a regra do produto e da cadeia:
Fatorando:
Passo 5
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
-
Para
: Mas precisamos verificar o sinal em torno de. Observando que a função tem um mínimo suave nesse ponto, podemos concluir que é um mínimo relativo. -
Para
: Como a derivada segunda é negativa, a função é côncava para baixo, indicando um máximo relativo. -
Para
: Similar ao, analisando o comportamento próximo a , vemos que é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Mínimo relativo -
: Máximo relativo -
: Mínimo relativo
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e
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