Determine em que intervalos as funções
e
possuem inversa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos que descobrir em quais intervalos as funções
,
e
possuem inversa. Isso envolve o estudo das propriedades de funções e suas inversas, então vamos precisar saber quando uma função é invertível.
Passo 2
Para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser uma função um-a-um, ou seja, cada valor de saída corresponde a exatamente um valor de entrada. Isso garante que a inversa seja bem definida. No caso das funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, que são periódicas, precisamos escolher intervalos específicos onde elas não se repetem, para que sejam um-a-um nesses intervalos.
Passo 3
Vamos começar com a função seno,
. Sabemos que o seno é uma função periódica com período
, mas para garantir que seja invertível, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja estritamente crescente ou decrescente. O intervalo
é onde o seno é estritamente crescente, ou seja, cada valor de
corresponde a um único valor de
. Assim, nesse intervalo, a função seno é invertível.
Passo 4
Agora, vamos considerar a função cosseno,
. Assim como o seno, o cosseno é periódica com período
. Para que o cosseno seja invertível, precisamos escolher um intervalo onde ele seja estritamente decrescente ou crescente. O intervalo
é onde o cosseno é estritamente decrescente, garantindo que cada valor de
corresponda a um único valor de
. Portanto, dentro desse intervalo, a função cosseno possui inversa.
Passo 5
Por fim, analisamos a função tangente,
. A tangente tem um período de
e é uma função que tende ao infinito positivo e negativo nos pontos
, onde
é um inteiro. Para que a tangente seja invertível, escolhemos o intervalo
, onde a função é estritamente crescente e não se repete. Nesse intervalo, cada valor de
corresponde a um único valor de
, garantindo que a função tenha inversa.
Resposta
As funções possuem inversa nos seguintes intervalos:
-
: -
: -
:
Exercícios relacionados
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(a)
A função
define o perímetro de um retângulo cujos lados medem
e
.
a) Determine os extremos de .
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
a) Determine os extremos de
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
Faça a composição das funções da questão anterior,
para o item (a) e
para o
.
Sejam
. Expresse as funções a seguir em termos das funções anteriores:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)