Determine em que intervalos as funções e possuem inversa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos que descobrir em quais intervalos as funções , e possuem inversa. Isso envolve o estudo das propriedades de funções e suas inversas, então vamos precisar saber quando uma função é invertível.

Passo 2

Para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser uma função um-a-um, ou seja, cada valor de saída corresponde a exatamente um valor de entrada. Isso garante que a inversa seja bem definida. No caso das funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, que são periódicas, precisamos escolher intervalos específicos onde elas não se repetem, para que sejam um-a-um nesses intervalos.

Passo 3

Vamos começar com a função seno, . Sabemos que o seno é uma função periódica com período , mas para garantir que seja invertível, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja estritamente crescente ou decrescente. O intervalo é onde o seno é estritamente crescente, ou seja, cada valor de corresponde a um único valor de . Assim, nesse intervalo, a função seno é invertível.

Passo 4

Agora, vamos considerar a função cosseno, . Assim como o seno, o cosseno é periódica com período . Para que o cosseno seja invertível, precisamos escolher um intervalo onde ele seja estritamente decrescente ou crescente. O intervalo é onde o cosseno é estritamente decrescente, garantindo que cada valor de corresponda a um único valor de . Portanto, dentro desse intervalo, a função cosseno possui inversa.

Passo 5

Por fim, analisamos a função tangente, . A tangente tem um período de e é uma função que tende ao infinito positivo e negativo nos pontos , onde é um inteiro. Para que a tangente seja invertível, escolhemos o intervalo , onde a função é estritamente crescente e não se repete. Nesse intervalo, cada valor de corresponde a um único valor de , garantindo que a função tenha inversa.

Resposta

As funções possuem inversa nos seguintes intervalos:
  • :
  • :
  • :

Exercícios relacionados

Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
A função
define o perímetro de um retângulo cujos lados medem e .
a) Determine os extremos de .
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
Faça a composição das funções da questão anterior, para o item (a) e para o .
Sejam . Expresse as funções a seguir em termos das funções anteriores:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .