Determine em que intervalos as funções sen x, cos x e tan(x) possuem inversa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos que descobrir em quais intervalos as funções sen x, cos(x) e tan(x) possuem inversa. Isso envolve o estudo das propriedades de funções e suas inversas, então vamos precisar saber quando uma função é invertível.

Passo 2

Para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser uma função um-a-um, ou seja, cada valor de saída corresponde a exatamente um valor de entrada. Isso garante que a inversa seja bem definida. No caso das funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, que são periódicas, precisamos escolher intervalos específicos onde elas não se repetem, para que sejam um-a-um nesses intervalos.

Passo 3

Vamos começar com a função seno, sen x. Sabemos que o seno é uma função periódica com período , mas para garantir que seja invertível, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja estritamente crescente ou decrescente. O intervalo é onde o seno é estritamente crescente, ou seja, cada valor de sen x corresponde a um único valor de x. Assim, nesse intervalo, a função seno é invertível.

Passo 4

Agora, vamos considerar a função cosseno, cos(x). Assim como o seno, o cosseno é periódica com período . Para que o cosseno seja invertível, precisamos escolher um intervalo onde ele seja estritamente decrescente ou crescente. O intervalo [0, pi] é onde o cosseno é estritamente decrescente, garantindo que cada valor de cos(x) corresponda a um único valor de x. Portanto, dentro desse intervalo, a função cosseno possui inversa.

Passo 5

Por fim, analisamos a função tangente, tan(x). A tangente tem um período de pi e é uma função que tende ao infinito positivo e negativo nos pontos , onde k é um inteiro. Para que a tangente seja invertível, escolhemos o intervalo , onde a função é estritamente crescente e não se repete. Nesse intervalo, cada valor de tan(x) corresponde a um único valor de x, garantindo que a função tenha inversa.

Resposta

As funções possuem inversa nos seguintes intervalos:
  • sen x:
  • cos(x): [0, pi]
  • tan(x): (-pi/2, pi/2)

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