Determine em que intervalos as funções
e
possuem inversa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos que descobrir em quais intervalos as funções
,
e
possuem inversa. Isso envolve o estudo das propriedades de funções e suas inversas, então vamos precisar saber quando uma função é invertível.
Passo 2
Para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser uma função um-a-um, ou seja, cada valor de saída corresponde a exatamente um valor de entrada. Isso garante que a inversa seja bem definida. No caso das funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, que são periódicas, precisamos escolher intervalos específicos onde elas não se repetem, para que sejam um-a-um nesses intervalos.
Passo 3
Vamos começar com a função seno,
. Sabemos que o seno é uma função periódica com período
, mas para garantir que seja invertível, precisamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja estritamente crescente ou decrescente. O intervalo
é onde o seno é estritamente crescente, ou seja, cada valor de
corresponde a um único valor de
. Assim, nesse intervalo, a função seno é invertível.
Passo 4
Agora, vamos considerar a função cosseno,
. Assim como o seno, o cosseno é periódica com período
. Para que o cosseno seja invertível, precisamos escolher um intervalo onde ele seja estritamente decrescente ou crescente. O intervalo
é onde o cosseno é estritamente decrescente, garantindo que cada valor de
corresponda a um único valor de
. Portanto, dentro desse intervalo, a função cosseno possui inversa.
Passo 5
Por fim, analisamos a função tangente,
. A tangente tem um período de
e é uma função que tende ao infinito positivo e negativo nos pontos
, onde
é um inteiro. Para que a tangente seja invertível, escolhemos o intervalo
, onde a função é estritamente crescente e não se repete. Nesse intervalo, cada valor de
corresponde a um único valor de
, garantindo que a função tenha inversa.
Resposta
As funções possuem inversa nos seguintes intervalos:
-
: -
: -
: