A função
define o perímetro de um retângulo cujos lados medem
e
.
a) Determine os extremos de
.
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
a) Determine os extremos de
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que representa o perímetro de um retângulo. A função dada é:
Aqui,
é a medida de um lado do retângulo, e
é a medida do outro lado. Nosso objetivo é encontrar os extremos dessa função, ou seja, os valores mínimos e máximos do perímetro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são extremos de uma função. Extremos são os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para encontrar esses pontos, usamos o cálculo derivativo. Precisamos calcular a derivada da função
em relação a
e igualá-la a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A função é:
A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
é
. Então, a derivada total é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero:
Resolvendo para
:
Então,
é o ponto crítico.
Passo 5
Para confirmar se esse ponto é um mínimo ou máximo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada em torno de
. Nesse caso, sabemos que, para valores de
menores que 10, a derivada
é negativa, e para valores maiores que 10, é positiva. Isso indica que a função atinge um ponto mínimo em
.
Resposta
a) O perímetro
tem um extremo mínimo em
.
b) Isso significa que o menor perímetro possível do retângulo ocorre quando um dos lados mede 10 unidades e o outro lado mede
unidades, ou seja, quando o retângulo é um quadrado com lados de 10 unidades.
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Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
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Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(a)
Determine em que intervalos as funções
e
possuem inversa.