A função
P(x) = 2x + 200/x, 0<x<infinito
define o perímetro de um retângulo cujos lados medem x e 100/x.
a) Determine os extremos de P.
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que representa o perímetro de um retângulo. A função dada é:
Aqui, x é a medida de um lado do retângulo, e 100/x é a medida do outro lado. Nosso objetivo é encontrar os extremos dessa função, ou seja, os valores mínimos e máximos do perímetro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são extremos de uma função. Extremos são os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para encontrar esses pontos, usamos o cálculo derivativo. Precisamos calcular a derivada da função P(x) em relação a x e igualá-la a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de P(x). A função é:
A derivada de em relação a x é . A derivada de é . Então, a derivada total é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero:
Resolvendo para x:
Então, é o ponto crítico.

Passo 5

Para confirmar se esse ponto é um mínimo ou máximo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada em torno de . Nesse caso, sabemos que, para valores de x menores que 10, a derivada é negativa, e para valores maiores que 10, é positiva. Isso indica que a função atinge um ponto mínimo em .

Resposta

a) O perímetro P(x) tem um extremo mínimo em .
b) Isso significa que o menor perímetro possível do retângulo ocorre quando um dos lados mede 10 unidades e o outro lado mede unidades, ou seja, quando o retângulo é um quadrado com lados de 10 unidades.

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