Determine os Pontos Críticos das funções abaixo:
f(x) = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x - 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função . Isso está relacionado com o conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente usa a derivada para encontrar esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar os valores de que tornam essa derivada igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a . Usamos as regras de derivação para polinômios:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos encontrar os valores de que fazem essa derivada igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais:
Então:

Passo 5

Encontramos os valores de que fazem a derivada zero: e . Para obter os pontos críticos, também precisamos das coordenadas completas, ou seja, .
Calculando :
Calculando :

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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