Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\frac{x-1}{x+1}
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a função inversa da função , se ela existir. A função inversa é aquela que “desfaz” o que a função original faz. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, como trocar e e isolar .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função original substituindo por para facilitar:
Passo 3
Agora, o próximo passo é trocar e . Isso porque, na função inversa, o que antes era saída ( ) passa a ser entrada ( ), e vice-versa:
Passo 4
Nosso objetivo é isolar nessa equação. Para fazer isso, primeiro vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por :
Passo 5
Agora, distribua o dentro do parênteses:
Passo 6
Vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os termos sem do outro lado. Subtraia de ambos os lados:
Passo 7
Agora, isole os termos com . Adicione 1 a ambos os lados:
Passo 8
Fatora do lado direito da equação:
Passo 9
Finalmente, para isolar , divida ambos os lados por :