Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\frac{x-1}{x+1}

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a função inversa da função , se ela existir. A função inversa é aquela que “desfaz” o que a função original faz. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, como trocar e e isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função original substituindo por para facilitar:

Passo 3

Agora, o próximo passo é trocar e . Isso porque, na função inversa, o que antes era saída ( ) passa a ser entrada ( ), e vice-versa:

Passo 4

Nosso objetivo é isolar nessa equação. Para fazer isso, primeiro vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, distribua o dentro do parênteses:

Passo 6

Vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os termos sem do outro lado. Subtraia de ambos os lados:

Passo 7

Agora, isole os termos com . Adicione 1 a ambos os lados:

Passo 8

Fatora do lado direito da equação:

Passo 9

Finalmente, para isolar , divida ambos os lados por :

Resposta

A função inversa de é:

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