Suponha que
é contínua no intervalo
, e
para todo
em
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que é contínua no intervalo
, sabe? Além disso, sabemos que
e que a derivada de
, que é
, está entre 2 e 5 para todo
no intervalo aberto
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o valor de
está entre 9 e 21. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio, que liga a derivada de uma função ao seu comportamento em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Em fórmulas, isso fica:
No nosso caso,
,
, e sabemos que
.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Valor Médio à nossa função:
Sabemos também que
para todo
em
. Isso significa que:
Passo 4
Para encontrar os limites de
, vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando todos os termos por 4:
Agora, somando 1 em todos os lados:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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