Suponha que é contínua no intervalo , e para todo em . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que é contínua no intervalo , sabe? Além disso, sabemos que e que a derivada de , que é , está entre 2 e 5 para todo no intervalo aberto . Nosso objetivo aqui é mostrar que o valor de está entre 9 e 21. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio, que liga a derivada de uma função ao seu comportamento em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Em fórmulas, isso fica:
No nosso caso, , , e sabemos que .

Passo 3

Aplicando o Teorema do Valor Médio à nossa função:
Sabemos também que para todo em . Isso significa que:

Passo 4

Para encontrar os limites de , vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando todos os termos por 4:
Agora, somando 1 em todos os lados:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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f(x)=\frac{x-1}{x+1}
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