Determine a inversa da matriz A abaixo:
A=|ccc1 & 2 & 3 -3 & 2 & -2 5 & 6 & 2|

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz A = 1 & 2 & 3 -3 & 2 & -2 5 & 6 & 2 :
O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a teoria de matrizes e a inversa de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante de e a matriz dos cofatores, além de entender como aplicar a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz tem inversa. Isso só é possível se o determinante de for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .

Passo 3

O determinante para uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz:
a = 1, b = 2, c = 3 d = -3, e = 2, f = -2 g = 5, h = 6, i = 2
Substituindo na fórmula:
det(A) = 1(2 cdot 2 - (-2) cdot 6) - 2((-3) cdot 2 - (-2) cdot 5) + 3((-3) cdot 6 - 2 cdot 5)

Passo 4

Calculando cada parte:
1(4 + 12) = 16 -2(-6 + 10) = -2(4) = -8 3(-18 - 10) = 3(-28) = -84
Somando tudo:
16 - 8 - 84 = -76
Como o determinante �� diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores de . Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado como , onde é o determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 6

Vamos calcular cada cofator:
  • 2 & -2 6 & 2
  • -3 & -2 5 & 2
  • -3 & 2 5 & 6
  • 2 & 3 6 & 2
  • 1 & 3 5 & 2
  • 1 & 2 5 & 6
  • 2 & 3 2 & -2
  • 1 & 3 -3 & -2
  • 1 & 2 -3 & 2

Passo 7

Assim, a matriz dos cofatores é:
Cof(A) = 16 & -4 & -28 14 & -13 & 4 -10 & -7 & 8
Para encontrar a matriz adjunta, precisamos transpor a matriz dos cofatores.

Passo 8

A matriz adjunta Adj(A) = 16 & 14 & -10 -4 & -13 & -7 -28 & 4 & 8 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 9

Agora, usamos a fórmula da inversa da matriz:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Substituindo os valores:
A^-1 = 1-76 cdot 16 & 14 & -10 -4 & -13 & -7 -28 & 4 & 8

Passo 10

Podemos simplificar dividindo cada elemento por -76:
A^-1 = 16-76 & 14-76 & -10-76 -4-76 & -13-76 & -7-76 -28-76 & 4-76 & 8-76 = -419 & -738 & 538 119 & 1376 & 776 719 & -119 & -219

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = -dfrac419 & -dfrac738 & dfrac538 dfrac119 & dfrac1376 & dfrac776 dfrac719 & -dfrac119 & -dfrac219 é:

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