(FCC) Para a compra de parafusos, pregos e arruelas, foi feita uma licitação da qual participaram três empresas - A, B e C - que ofereceram esses itens em caixas, aos preços unitários de x, y e z reais, respectivamente. Considere a matriz A=(ai j), abaixo representada, onde: nas linhas i=1,2 e 3 têm-se as quantidades de itens comprados das empresas A, B e C, respectivamente. Em cada coluna aparecem as quantidades de um mesmo tipo de item comprado, ou seja: na primeira, a de caixas de parafusos; na segunda, a de caixas de pregos; na terceira, a de caixas de arruelas.
A=[ccc 300 & 100 & 0 150 & 200 & 100 0 & 200 & 250 ]
Considerando as matrizes X=[lx y z] e B=[ll7 & 500 7 & 000 5 & 500], dos totais de reais gastos em cada uma das lojas, a equação matricial A X=B permite que se calcule o preço unitário de casa um dos itens. Nessas condições, o preço de cada caixa de parafusos é igual a:
a) R
b) b)
c) 15,00
d) R
e) d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma licitação para comprar caixas de parafusos, pregos e arruelas de três empresas diferentes (A, B e C), com preços unitários de , e reais, respectivamente. A matriz nos mostra a quantidade de cada item comprado de cada empresa, e a matriz mostra o total gasto em cada loja. Nosso objetivo é encontrar o preço de cada caixa de parafusos, ou seja, determinar o valor de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares representados por matrizes. Precisaremos entender como multiplicar matrizes e como resolver o sistema para encontrar , que contém os preços unitários , e .

Passo 2

Vamos escrever as equações representadas pela expressão matricial A = 300 & 100 & 0 150 & 200 & 100 0 & 200 & 250 . A matriz X = x y z , B = 7000 7000 5500 é:
A X = 300x + 100y + 0z 150x + 200y + 100z 0x + 200y + 250z = 7000 7000 5500
E as matrizes 300x + 100y = 7000 150x + 200y + 100z = 7000 200y + 250z = 5500 e são:
Multiplicando por , temos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos simplificar o sistema para facilitar a resolução. Observamos que a primeira equação envolve apenas 300x + 100y = 7000 Rightarrow 3x + y = 70 (dividindo todos os termos por 100) e y = 70 - 3x , e a terceira envolve apenas e . Vamos resolver a primeira equação para :
Então, podemos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos 200y + 250z = 5500 200(70 - 3x) + 250z = 5500 14000 - 600x + 250z = 5500 -600x + 250z = 5500 - 14000 -600x + 250z = -8500 na terceira equação para encontrar -12x + 5z = -170 :
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 50:

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação do sistema original:
150x + 200y + 100z = 7000
Substituímos 150x + 200(70 - 3x) + 100z = 7000 150x + 14000 - 600x + 100z = 7000 -450x + 100z = 7000 - 14000 -450x + 100z = -7000 :
-9x + 2z = -140
Dividindo todos os termos por 50:

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( -12x + 5z = -170 -9x + 2z = -140 e -9x times 2.5 = -22.5x 2z times 2.5 = 5z -140 times 2.5 = -350 ):
-22.5x + 5z = -350
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação. Multiplicamos a segunda equação por 2,5 para igualar os coeficientes de (-22.5x + 5z) - (-12x + 5z) = -350 - (-170) -22.5x + 5z + 12x - 5z = -350 + 170 -10.5x = -180 x = -180-10.5 x = 18010.5 x = 17.142857 :
Então, a segunda equação multiplicada fica:
Agora, subtraímos a primeira equação da equação modificada:
Arredondando, reais.

Resposta

O preço de cada caixa de parafusos é aproximadamente , 17,14), o que não corresponde exatamente a nenhuma das a, o que não corresponde exatamente a nenhuma das alternativas fornecidas. No entanto, entre as opções apresentadas, a mais próxima �� a letra b) R$ 15,00.

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