(UNICAMP) Considere a matriz
, onde a e b são números reais. Se
e A é invertível, então, quanto vale a e b?
a) a = 1 e b = 1
b) a
e b = 0
c)
e b = 0
d) a
e b = 1
e) a = 1 e b
a) a = 1 e b = 1
b) a
c)
d) a
e) a = 1 e b
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz
, onde
e
são números reais. A gente precisa descobrir os valores de
e
sabendo que
e que
é invertível. Para isso, vamos mexer com matrizes, especificamente multiplicação de matrizes e identidade de matrizes invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é
multiplicada por ela mesma. Vamos fazer a multiplicação:
Multiplicando as matrizes:
-
Primeira linha, primeira coluna:
-
Primeira linha, segunda coluna:
-
Segunda linha, primeira coluna:
-
Segunda linha, segunda coluna:
Então, temos:
Passo 3
Sabemos que
, então vamos igualar as duas matrizes:
Isso nos dá um sistema de equações:
-
-
-
(Essa última equação sempre é verdadeira, então não nos ajuda aqui)
Vamos resolver as duas primeiras equações.
Passo 4
Primeiro, resolvemos
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, vemos o que acontece com
.
Passo 5
Vamos para a segunda equação
. Podemos reescrever isso assim:
Então, ou
ou
.
Passo 6
Mas temos uma condição extra: a matriz
é invertível. Para uma matriz 2x2 ser invertível, seu determinante não pode ser zero. Vamos calcular o determinante de
:
Então, para
ser invertível,
. Isso significa que a única possibilidade para
é
.
Passo 7
Com
, voltamos à equação
:
Resposta
A resposta correta é b)
e
.