(UNICAMP) Considere a matriz A=(lla & 0 b & 1), onde a e b são números reais. Se A^2=A e A é invertível, então, quanto vale a e b?
a) a = 1 e b = 1
b) a =1 e b = 0
c) a=0 e b = 0
d) a =0 e b = 1
e) a = 1 e b =-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz a & 0 b & 1 , onde e são números reais. A gente precisa descobrir os valores de e sabendo que e que é invertível. Para isso, vamos mexer com matrizes, especificamente multiplicação de matrizes e identidade de matrizes invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = a & 0 b & 1 times a & 0 b & 1 , que é (a times a) + (0 times b) = a^2 multiplicada por ela mesma. Vamos fazer a multiplicação:
(a times 0) + (0 times 1) = 0
Multiplicando as matrizes:
  • Primeira linha, primeira coluna:
    (b times a) + (1 times b) = ab + b = b(a + 1)
  • Primeira linha, segunda coluna:
    (b times 0) + (1 times 1) = 1
  • Segunda linha, primeira coluna:
    A^2 = a^2 & 0 b(a + 1) & 1
  • Segunda linha, segunda coluna:
Então, temos:

Passo 3

Sabemos que a^2 & 0 b(a + 1) & 1 = a & 0 b & 1 , então vamos igualar as duas matrizes:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (Essa última equação sempre é verdadeira, então não nos ajuda aqui)
Vamos resolver as duas primeiras equações.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a^2 - a = 0 a(a - 1) = 0 :
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, vemos o que acontece com .

Passo 5

Vamos para a segunda equação b(a + 1) - b = 0 b(a + 1 - 1) = 0 b cdot a = 0 . Podemos reescrever isso assim:
Então, ou ou .

Passo 6

Mas temos uma condição extra: a matriz det(A) = a times 1 - 0 times b = a é invertível. Para uma matriz 2x2 ser invertível, seu determinante não pode ser zero. Vamos calcular o determinante de :
Então, para ser invertível, . Isso significa que a única possibilidade para é .

Passo 7

Com b cdot 1 = 0 b = 0 , voltamos à equação :

Resposta

A resposta correta é b) e .

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