Uma matriz quadrada A de diz simétrica se A^T=A, em que A^T é a matriz transposta de A . Com base nessa definição, é correto afirmar que os números inteiros x que tornam a matriz A abaixo simétrica são:
A=[cc -1 & 2 x+8 x^2-5 x & 2 ]
a) cubos perfeitos.
b) quadrados perfeitos.
c) múltiplos de 2 .
d) negativos
e) ímpares.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada e precisamos descobrir quais valores inteiros de tornam essa matriz simétrica. Uma matriz é simétrica quando a matriz transposta dela é igual à própria matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como comparar os elementos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = -1 & 2x + 8 x^2 - 5x & 2 e sua transposta A^T = -1 & x^2 - 5x 2x + 8 & 2 :
A matriz transposta troca as linhas pelas colunas:

Passo 3

Para que 2x + 8 = x^2 - 5x seja simétrica, cada elemento deve ser igual ao elemento . Então, vamos igualar os elementos correspondentes:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x^2 - 5x - 2x - 8 = 0 :
x^2 - 7x - 8 = 0

Passo 5

Essa é uma equação quadrática da forma x = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1 . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = 7 pm raiz49 + 322
x = 7 pm raiz812
x = 7 pm 92
x = 162 = 8 e x = -22 = -1
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora, vamos verificar qual das opções corresponde aos valores e :
  • a) cubos perfeitos: 8 é e -1 é . Ambos são cubos perfeitos.
  • b) quadrados perfeitos: 8 não é um quadrado perfeito e -1 também não é.
  • c) múltiplos de 2: 8 é múltiplo de 2, mas -1 não é.
  • d) negativos: Apenas -1 é negativo.
  • e) ímpares: 8 é par e -1 é ímpar, mas precisamos que ambos os números satisfaçam a condição.

Resposta

a) cubos perfeitos.

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