Uma matriz quadrada A de diz simétrica se
, em que
é a matriz transposta de A . Com base nessa definição, é correto afirmar que os números inteiros x que tornam a matriz A abaixo simétrica são:
a) cubos perfeitos.
b) quadrados perfeitos.
c) múltiplos de 2 .
d) negativos
e) ímpares.
b) quadrados perfeitos.
c) múltiplos de 2 .
d) negativos
e) ímpares.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada
e precisamos descobrir quais valores inteiros de
tornam essa matriz simétrica. Uma matriz é simétrica quando a matriz transposta dela é igual à própria matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como comparar os elementos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
e sua transposta
:
A matriz transposta
troca as linhas pelas colunas:
Passo 3
Para que
seja simétrica, cada elemento
deve ser igual ao elemento
. Então, vamos igualar os elementos correspondentes:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática da forma
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Agora, vamos verificar qual das opções corresponde aos valores
e
:
- a) cubos perfeitos: 8 é
e -1 é . Ambos são cubos perfeitos. - b) quadrados perfeitos: 8 não é um quadrado perfeito e -1 também não é.
- c) múltiplos de 2: 8 é múltiplo de 2, mas -1 não é.
- d) negativos: Apenas -1 é negativo.
- e) ímpares: 8 é par e -1 é ímpar, mas precisamos que ambos os números satisfaçam a condição.
Resposta
a) cubos perfeitos.