Determine a inversa da matriz A definida por:
A=[llll 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a inversa da matriz . A matriz dada é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para encontrar a inversa, vamos usar o método de matriz aumentada, onde combinamos com a matriz identidade e aplicamos operações para transformar na identidade. No processo, a matriz identidade se transforma na inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 junto com a matriz identidade [A | I] = [cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] lado a lado, formando a matriz aumentada . A matriz identidade de ordem 4 é:
Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos transformar a parte da esquerda da matriz aumentada ( cccc|cccc 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ) na matriz identidade usando operações elementares de linha. Essas operações incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.
Começamos pela última linha, que já está boa:
Isso significa que o último elemento da diagonal principal já é 1, então nada precisa ser feito aqui.

Passo 4

Vamos para a terceira linha. Queremos que o elemento [cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] seja 1, o que já está, então vamos zerar o elemento acima dele na mesma coluna.
Para isso, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 3

Passo 5

Agora, vamos para a segunda linha. O elemento [cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] já é 1. Vamos agora zerar os elementos acima dele na mesma coluna.
Para isso, subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2

Passo 6

Por fim, vamos trabalhar na primeira linha para zerar os elementos acima do terceiro elemento da diagonal.
Primeiro, subtraímos a terceira linha da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 3
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Em seguida, subtraímos a quarta linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 é:

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