Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Mostre que (A B C)^t= C^t B^t A^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se tivermos três matrizes quadradas A, B e C da mesma ordem, a transposta do produto delas, ou seja, (A B C)^t, é igual ao produto das transpostas na ordem inversa: C^t B^t A^t. Vamos usar conceitos de álgebra linear sobre matrizes e transpostas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz M, denotada por M^t, é obtida trocando as linhas pelas colunas de M. Por exemplo, se M é uma matriz 2 times 3, sua transposta M^t será 3 times 2.

Passo 3

Também precisamos lembrar como funciona a transposta de um produto de duas matrizes. Existe uma propriedade que diz que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja, (A B)^t = B^t A^t. Vamos usar essa propriedade para o nosso caso com três matrizes.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade passo a passo. Primeiro, consideramos o produto das duas primeiras matrizes A e B:
(A B)^t = B^t A^t

Passo 5

Agora, temos o produto (A B) C. Vamos aplicar a transposta desse produto:
((A B) C)^t
Usando novamente a propriedade da transposta do produto, temos:
= C^t (A B)^t

Passo 6

Já sabemos que (A B)^t = B^t A^t, então substituímos:
= C^t B^t A^t

Resposta

Portanto, mostramos que (A B C)^t = C^t B^t A^t.

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