Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se tivermos três matrizes quadradas
,
e
da mesma ordem, a transposta do produto delas, ou seja,
, é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:
. Vamos usar conceitos de álgebra linear sobre matrizes e transpostas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas de
. Por exemplo, se
é uma matriz
, sua transposta
será
.
Passo 3
Também precisamos lembrar como funciona a transposta de um produto de duas matrizes. Existe uma propriedade que diz que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja,
. Vamos usar essa propriedade para o nosso caso com três matrizes.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade passo a passo. Primeiro, consideramos o produto das duas primeiras matrizes
e
:
Passo 5
Agora, temos o produto
. Vamos aplicar a transposta desse produto:
Usando novamente a propriedade da transposta do produto, temos:
Passo 6
Já sabemos que
, então substituímos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.