Determine a inversa das seguintes matrizes usando operações elementares.
(a) [lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa de uma matriz usando operações elementares. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, vamos precisar entender como manipular as linhas da matriz para transformá-la na identidade e, ao mesmo tempo, aplicar essas operações em uma matriz identidade que nos dará a inversa no final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original junto com a matriz identidade lado a lado. Isso é chamado de matriz aumentada. A matriz original é:
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
E a matriz identidade I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 de ordem 3 é:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

O objetivo agora é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (a matriz original) na matriz identidade usando operações elementares nas linhas. Essas operações são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Vamos começar eliminando o “1” abaixo do primeiro “1” na primeira coluna.

Passo 4

Subtraímos a primeira linha da segunda linha para eliminar o “1” na posição (2,1):
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos eliminar o “1” na posição (3,2). Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 ]

Passo 6

Vamos agora transformar o “2” na posição (3,3) em “1” dividindo a terceira linha por 2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 ]

Passo 7

Eliminamos o “1” na posição (1,3) subtraindo a terceira linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & -0.5 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 ]

Passo 8

Finalmente, eliminamos o “-1” na posição (2,3) adicionando a terceira linha à segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & -0.5 0 & 1 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0.5 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 ]
Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade, e a parte da direita é a inversa da matriz original.

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = 0.5 & 0.5 & -0.5 -0.5 & 0.5 & 0.5 0.5 & -0.5 & 0.5

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