Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
b)
é
é LI.
b)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se o conjunto
é linearmente independente (LI), então o conjunto
também é LI.” Neste exercício, estamos trabalhando com o conceito de independência linear. Para resolver, precisamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como adicionar mais um vetor pode afetar essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, para o conjunto
ser LI, não existe nenhum número escalar
tal que
ou
.
Passo 3
Agora, queremos saber se, ao adicionarmos um terceiro vetor
ao conjunto, o novo conjunto
também será LI automaticamente. Para que esse novo conjunto seja LI, é necessário que
não possa ser escrita como uma combinação linear de
e
.
Passo 4
No entanto, o fato de
ser LI não garante que
não esteja no espaço gerado por
e
. Se
puder ser expressa como uma combinação de
e
, então o conjunto
será linearmente dependente.
Passo 5
Portanto, a afirmação “Se
é LI, então
é LI” não é necessariamente verdadeira. Ela dependerá da relação entre
e os vetores
e
.
Resposta
Falso. Porque mesmo que
seja linearmente independente, o vetor
pode ser uma combinação linear de
e
, tornando o conjunto
dependente.