Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
b) u, v é LI Rightarrowu, v, w é LI.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se o conjunto u, v é linearmente independente (LI), então o conjunto u, v, w também é LI.” Neste exercício, estamos trabalhando com o conceito de independência linear. Para resolver, precisamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como adicionar mais um vetor pode afetar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é dito ser linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, para o conjunto u, v ser LI, não existe nenhum número escalar a tal que u = av ou v = au.

Passo 3

Agora, queremos saber se, ao adicionarmos um terceiro vetor w ao conjunto, o novo conjunto u, v, w também será LI automaticamente. Para que esse novo conjunto seja LI, é necessário que w não possa ser escrita como uma combinação linear de u e v.

Passo 4

No entanto, o fato de u, v ser LI não garante que w não esteja no espaço gerado por u e v. Se w puder ser expressa como uma combinação de u e v, então o conjunto u, v, w será linearmente dependente.

Passo 5

Portanto, a afirmação “Se u, v é LI, então u, v, w é LI” não é necessariamente verdadeira. Ela dependerá da relação entre w e os vetores u e v.

Resposta

Falso. Porque mesmo que u, v seja linearmente independente, o vetor w pode ser uma combinação linear de u e v, tornando o conjunto u, v, w dependente.

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