Determine as inversas das seguinte funções: f(x) = x^2 / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício que pede para encontrar a inversa da função . Isso está relacionado ao conteúdo de funções matemáticas, especificamente funções inversas. Para resolver, vamos precisar entender como inverter uma função, ou seja, descobrir uma função que “desfaça” o que a função original faz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se é uma função que relaciona a , a função inversa relaciona de volta a . Para encontrar , a gente troca e na equação original e resolve para .

Passo 3

Vamos começar escrevendo a função original:
Agora, trocamos por e por :
Nosso objetivo é resolver essa equação para , ou seja, expressar em termos de .

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Fatorando :
Agora, isolamos :
Simplificando a fração:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Lembrando que estamos assumindo que para que a função original seja invertível.

Resposta

A função inversa de é:

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