Determine as inversas das seguinte funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a inversa da função
, onde
. Isso envolve conceitos de funções e suas inversas, além de manipulação algébrica para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a inversa de uma função
é outra função
tal que
. Para encontrar a inversa, vamos trocar
por
e depois resolver para
.
Passo 3
Então, começamos escrevendo
.
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Isso significa que precisamos expressar
em termos de
.
Passo 5
Reorganizamos a equação:
. Isso é uma equação quadrática na forma
.
Passo 6
Para resolver uma equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
. Aqui,
,
, e
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 8
Calculando dentro da raiz:
Passo 9
Então, temos:
Passo 10
Como a função original é definida para
, devemos escolher a solução que também resulta em
. Portanto, usamos o sinal positivo:
Passo 11
Agora, para escrever a inversa, trocamos
e
:
Resposta
A função inversa é
.