Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
lim x 1 f(x) onde f(x)=lx^2+3, x neq 1 2, x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o limite de quando se aproxima de 1 existe. A função é definida de maneira diferente quando é igual a 1 e quando não é. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como aplicá-lo a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função quando f(x) = x^2 + 3, & se x neq 1 2, & se x = 1 se aproxima de um valor específico. O limite existe se, ao nos aproximarmos de pelos valores menores e pelos valores maiores, a função tende para o mesmo número.
No nosso caso, a função é:

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de limx 1 x^2 + 3 quando se aproxima de 1, mas sem ser exatamente 1. Isso significa que vamos considerar apenas a parte da função.
Então, calculamos:

Passo 4

Agora, substituímos 1^2 + 3 = 1 + 3 = 4 por 1 na expressão :

Passo 5

Como chegamos ao mesmo valor tanto ao nos aproximarmos de 1 pela esquerda quanto pela direita, podemos concluir que o limite existe.

Resposta

O limite existe e é igual a 4.

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