Resolva cada sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
a. rx+y+2 z=9 2 x+4 y-3 z=1 3 x+6 y-5 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pelo método de eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0
Esse método nos ajuda a simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & 2 & | & 9 2 & 4 & -3 & | & 1 3 & 6 & -5 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas correspondem aos coeficientes de , , e ao termo independente.

Passo 3

Vamos começar eliminando o 1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 2 & -7 & | & -17 3 & 6 & -5 & | & 0 das segundas e terceiras linhas. Para isso, vamos usar a primeira linha.
Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 2 & -7 & | & -17 0 & 3 & -11 & | & -27 da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o 1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 3 & -212 & | & -512 0 & 3 & -11 & | & -27 da terceira linha. Para isso, vamos ajustar a segunda linha para que o coeficiente de 1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 3 & -212 & | & -512 0 & 0 & 12 & | & -32 seja 3, igual ao da terceira linha.
Multiplicamos a segunda linha por :
Linha 2 = * Linha 2
Agora, subtraímos a nova segunda linha da terceira linha para eliminar o :
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2

Passo 6

Agora que temos a matriz escalonada, podemos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira equação:
12z = -32 implies z = -3

Passo 7

Substituímos 3y - 212(-3) = -512 na segunda equação:
3y + 632 = -512 implies 3y = -512 - 632 = -1142 = -57 implies y = -19
Simplificando:

Passo 8

Por fim, substituímos x + (-19) + 2(-3) = 9 implies x - 19 -6 = 9 implies x = 34 e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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