Esboçe o sólido descrito por: Em coordenadas esféricas: 0 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi/2, 0 <= varphi <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar um sólido usando coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são tipo uma maneira de localizar pontos no espaço usando três medidas: a distância até a origem ( rho), o ângulo com o eixo vertical ( theta) e o ângulo no plano horizontal ( phi). Aqui, os limites são:
  • 0 <= theta <= pi / 2
Vamos precisar entender esses limites e como eles definem o sólido que queremos desenhar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada limite significa:
  • rho: Vai de 0 a 2. Isso significa que a distância do ponto até a origem pode ser no máximo 2 unidades. Então, estamos dentro de uma esfera de raio 2.
  • theta: Vai de 0 a (90 graus). Esse é o ângulo que o raio faz com o eixo vertical (geralmente o eixo z). Como vai até , estamos considerando apenas a parte acima do plano xy, ou seja, a “meia-esfera” superior.
  • phi: Vai de 0 a (90 graus). Esse é o ângulo no plano xy a partir do eixo x. Com esse limite, estamos apenas na frente do plano xy, entre os eixos x e y positivos.

Passo 3

Agora, vamos juntar tudo para visualizar o sólido:
  • Raio ( rho): Máximo de 2, então estamos dentro de uma esfera de raio 2.
  • Altura ( theta): Até , então apenas a metade superior dessa esfera.
  • Lado ( phi): Até , então apenas o quarto da metade superior, porque estamos limitados aos ângulos entre 0 e 90 graus no plano xy.

Passo 4

Para desenhar:
  1. Imagine uma esfera com raio 2.
  2. Corte essa esfera ao meio pelo plano xy, ficando só a parte de cima.
  3. Agora, corte essa metade ao meio novamente pelo plano xz, ficando apenas um quarto da metade superior da esfera.

Resposta

O sólido é um oitavo de esfera de raio 2, localizado na região onde , e . Ou seja, é a parte superior frontal de uma esfera de raio 2.

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