Esboçe o sólido descrito por: Em coordenadas esféricas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar um sólido usando coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são tipo uma maneira de localizar pontos no espaço usando três medidas: a distância até a origem (
), o ângulo com o eixo vertical (
) e o ângulo no plano horizontal (
). Aqui, os limites são:
Vamos precisar entender esses limites e como eles definem o sólido que queremos desenhar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada limite significa:
-
: Vai de 0 a 2. Isso significa que a distância do ponto até a origem pode ser no máximo 2 unidades. Então, estamos dentro de uma esfera de raio 2. -
: Vai de 0 a (90 graus). Esse é o ângulo que o raio faz com o eixo vertical (geralmente o eixo z). Como vai até , estamos considerando apenas a parte acima do plano xy, ou seja, a “meia-esfera” superior. -
: Vai de 0 a (90 graus). Esse é o ângulo no plano xy a partir do eixo x. Com esse limite, estamos apenas na frente do plano xy, entre os eixos x e y positivos.
Passo 3
Agora, vamos juntar tudo para visualizar o sólido:
- Raio (
): Máximo de 2, então estamos dentro de uma esfera de raio 2. - Altura (
): Até , então apenas a metade superior dessa esfera. - Lado (
): Até , então apenas o quarto da metade superior, porque estamos limitados aos ângulos entre 0 e 90 graus no plano xy.
Passo 4
Para desenhar:
- Imagine uma esfera com raio 2.
- Corte essa esfera ao meio pelo plano xy, ficando só a parte de cima.
- Agora, corte essa metade ao meio novamente pelo plano xz, ficando apenas um quarto da metade superior da esfera.
Resposta
O sólido é um oitavo de esfera de raio 2, localizado na região onde
,
e
. Ou seja, é a parte superior frontal de uma esfera de raio 2.
Exercícios relacionados
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cartesianas (retangulares), encontre suas coordenadas cilindricas.
Esboce a região cuja descrição em coordenadas polares é dada por:
e
.
Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis:
.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que