Determine o Jacobiano da transformação: x=alpha sin beta ; y=alpha cos beta

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o Jacobiano da transformação dada por x=alpha sin beta e y=alpha cos beta. O Jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais de um conjunto de funções em relação a um conjunto de variáveis. No nosso caso, temos duas funções ( x e y) que dependem de duas variáveis ( alpha e beta). Para resolver, vamos precisar saber como calcular as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão do Jacobiano. Ele é dado por:
J = partial xpartial alpha & partial xpartial beta partial ypartial alpha & partial ypartial beta
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.

Passo 3

Começando com x:
  • Para partial xpartial alpha, derivamos x=alpha sin beta em relação a alpha, o que nos dá sin beta.
  • Agora, para partial xpartial beta, derivamos x=alpha sin beta em relação a beta, resultando em alpha cos beta.
Então, até agora, temos:
partial xpartial alpha = sin beta
partial xpartial beta = alpha cos beta

Passo 4

Agora vamos para y:
  • Para partial ypartial alpha, derivamos y=alpha cos beta em relação a alpha, resultando em cos beta.
  • E para partial ypartial beta, derivamos y=alpha cos beta em relação a beta, que dá -alpha sin beta.
Agora temos:
partial ypartial alpha = cos beta
partial ypartial beta = -alpha sin beta

Passo 5

Com todas essas derivadas parciais, podemos montar nossa matriz Jacobiana:
J = sin beta & alpha cos beta cos beta & -alpha sin beta

Resposta

Portanto, o Jacobiano da transformação é:
J = sin beta & alpha cos beta cos beta & -alpha sin beta

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