Determine o Jacobiano da transformação:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o Jacobiano da transformação dada por
e
. O Jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais de um conjunto de funções em relação a um conjunto de variáveis. No nosso caso, temos duas funções (
e
) que dependem de duas variáveis (
e
). Para resolver, vamos precisar saber como calcular as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão do Jacobiano. Ele é dado por:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
Passo 3
Começando com
:
- Para
, derivamos em relação a , o que nos dá . - Agora, para
, derivamos em relação a , resultando em .
Então, até agora, temos:
Passo 4
Agora vamos para
:
- Para
, derivamos em relação a , resultando em . - E para
, derivamos em relação a , que dá .
Agora temos:
Passo 5
Com todas essas derivadas parciais, podemos montar nossa matriz Jacobiana:
Resposta
Portanto, o Jacobiano da transformação é: