As soluçōes da equaçāo de onda eletromagnética podem se escrever
l E=E0 e^i(x k2+y k1+z k1-omega t) B=B11 e^i(x k2+y ky+x k1-omega t)
A partir da lei de Faraday, mostre que k times E=omega B. O que podemos concluir sobre as direçües de k, E e B ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos as soluções das equações de onda eletromagnética para os campos elétrico l E=E0 e^i(x k2+y k1+z k1-omega t) B=B11 e^i(x k2+y ky+x k1-omega t) e magnético :
Queremos, usando a lei de Faraday, mostrar que . Além disso, devemos concluir sobre as direções de , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender a lei de Faraday e como o operador cruz ( ) funciona entre vetores. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

A lei de Faraday na forma diferencial é dada por:
nabla times E = -partial Bpartial t
Nosso objetivo é relacionar os vetores , e . Sabemos que, para uma onda eletromagnética, os campos elétrico e magnético estão relacionados pelas equações de Maxwell, e o vetor de onda aponta na direção de propagação da onda.

Passo 3

Vamos assumir que as soluções das ondas são do tipo harmônico e podemos fatorar a dependência temporal com E = E0 e^i(k cdot r - omega t) . Portanto, podemos reescrever os campos como:
B = B0 e^i(k cdot r - omega t)
Onde é o vetor de onda.

Passo 4

Calculando o rotacional de nabla times E = ik times E :
Isso porque, ao aplicar o operador rotacional a uma onda plana, obtemos um fator de multiplicando o campo.

Passo 5

Agora, calculamos a derivada temporal de partial Bpartial t = -iomega B :
Isso ocorre porque a derivada de em relação ao tempo traz o fator .

Passo 6

Substituindo esses resultados na lei de Faraday:
ik times E = -(-iomega B) ik times E = iomega B
Podemos cancelar o fator k times E = omega B dos dois lados:

Passo 7

Com essa relação, podemos concluir sobre as direções dos vetores:
  • O vetor aponta na direção de propagação da onda.
  • O campo elétrico é perpendicular a .
  • O campo magnético também é perpendicular a e a .
Portanto, , e são mutuamente perpendiculares entre si, formando um sistema de coordenadas ortogonais.

Resposta

Demonstramos que e concluímos que os vetores , e são mutuamente perpendiculares entre si.

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