As soluçōes da equaçāo de onda eletromagnética podem se escrever
A partir da lei de Faraday, mostre que
. O que podemos concluir sobre as direçües de
e
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos as soluções das equações de onda eletromagnética para os campos elétrico
e magnético
:
Queremos, usando a lei de Faraday, mostrar que
. Além disso, devemos concluir sobre as direções de
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender a lei de Faraday e como o operador cruz (
) funciona entre vetores. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
A lei de Faraday na forma diferencial é dada por:
Nosso objetivo é relacionar os vetores
,
e
. Sabemos que, para uma onda eletromagnética, os campos elétrico e magnético estão relacionados pelas equações de Maxwell, e o vetor de onda
aponta na direção de propagação da onda.
Passo 3
Vamos assumir que as soluções das ondas são do tipo harmônico e podemos fatorar a dependência temporal com
. Portanto, podemos reescrever os campos como:
Onde
é o vetor de onda.
Passo 4
Calculando o rotacional de
:
Isso porque, ao aplicar o operador rotacional a uma onda plana, obtemos um fator de
multiplicando o campo.
Passo 5
Agora, calculamos a derivada temporal de
:
Isso ocorre porque a derivada de
em relação ao tempo traz o fator
.
Passo 6
Substituindo esses resultados na lei de Faraday:
Podemos cancelar o fator
dos dois lados:
Passo 7
Com essa relação, podemos concluir sobre as direções dos vetores:
- O vetor
aponta na direção de propagação da onda. - O campo elétrico
é perpendicular a . - O campo magnético
também é perpendicular a e a .
Portanto,
,
e
são mutuamente perpendiculares entre si, formando um sistema de coordenadas ortogonais.
Resposta
Demonstramos que
e concluímos que os vetores
,
e
são mutuamente perpendiculares entre si.
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Determine o Jacobiano da transformação:
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Uma onda eletromagnética plana, com um comprimento de onda de
, se propaga no váctro, no sentido positivo do eixo
. O campo elétrico, cuja auplitude e
, oscila paralelamente ao eixo
:
Determine a frequência, a frequència angular e o número de onda. (Soluçã: )
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