Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o Jacobiano de uma transformação que envolve as variáveis , e , que por sua vez dependem das variáveis , e . O conteúdo que estamos trabalhando aqui são transformações e o Jacobiano, que é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das variáveis de saída em relação às variáveis de entrada. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer isso. O Jacobiano é uma matriz que tem as seguintes características: na linha e coluna , temos a derivada da variável (neste caso, , ou ) em relação à variável (neste caso, , ou ). Então, nossa matriz Jacobiana será assim:
Vamos calcular as derivadas uma por uma agora.
Derivadas de x=u v
partial xpartial u = v (a derivada de u v em relação a u mantém v).
partial xpartial v = u (a derivada de u v em relação a v mantém u).
partial xpartial w = 0 (não tem w na expressão).
Derivadas de y=v w
partial ypartial u = 0 (não tem u na expressão).
partial ypartial v = w (a derivada de v w em relação a v mantém w).
partial ypartial w = v (a derivada de v w em relação a w mantém v).
Derivadas de z=u w
partial zpartial u = w (a derivada de u w em relação a u mantém w).
partial zpartial v = 0 (não tem v na expressão).
partial zpartial w = u (a derivada de u w em relação a w mantém u).
Agora, vamos juntar tudo isso na matriz Jacobiana!
Passo 3
Colocando todas as derivadas que encontramos na matriz, temos: