Determine o Jacobiano da transformação:

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o Jacobiano de uma transformação que envolve as variáveis , e , que por sua vez dependem das variáveis , e . O conteúdo que estamos trabalhando aqui são transformações e o Jacobiano, que é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das variáveis de saída em relação às variáveis de entrada. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer isso. O Jacobiano é uma matriz que tem as seguintes características: na linha e coluna , temos a derivada da variável (neste caso, , ou ) em relação à variável (neste caso, , ou ). Então, nossa matriz Jacobiana será assim:
Vamos calcular as derivadas uma por uma agora.

Derivadas de

  1. (a derivada de em relação a mantém ).
  2. (a derivada de em relação a mantém ).
  3. (não tem na expressão).

Derivadas de

  1. (não tem na expressão).
  2. (a derivada de em relação a mantém ).
  3. (a derivada de em relação a mantém ).

Derivadas de

  1. (a derivada de em relação a mantém ).
  2. (não tem na expressão).
  3. (a derivada de em relação a mantém ).
Agora, vamos juntar tudo isso na matriz Jacobiana!

Passo 3

Colocando todas as derivadas que encontramos na matriz, temos:

Resposta

O Jacobiano da transformação é:

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Determine o Jacobiano da transformação:
Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo c na direção . A partir da lei de Faraday, obtemos a seguinte relação:
Descreva brevemente o significado fisico de .
As soluçōes da equaçāo de onda eletromagnética podem se escrever
A partir da lei de Faraday, mostre que . O que podemos concluir sobre as direçües de e ?
Determine o Jacobiano da transformação: