Determine o Jacobiano da transformação: x=u v ; y=v w ; z=u w

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o Jacobiano de uma transformação que envolve as variáveis x, y e z, que por sua vez dependem das variáveis u, v e w. O conteúdo que estamos trabalhando aqui são transformações e o Jacobiano, que é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das variáveis de saída em relação às variáveis de entrada. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular as derivadas parciais de x, y e z em relação a u, v e w.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer isso. O Jacobiano é uma matriz que tem as seguintes características: na linha i e coluna j, temos a derivada da variável i (neste caso, x, y ou z) em relação à variável j (neste caso, u, v ou w). Então, nossa matriz Jacobiana J será assim:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w
Vamos calcular as derivadas uma por uma agora.

Derivadas de x=u v

  1. partial xpartial u = v (a derivada de u v em relação a u mantém v).
  2. partial xpartial v = u (a derivada de u v em relação a v mantém u).
  3. partial xpartial w = 0 (não tem w na expressão).

Derivadas de y=v w

  1. partial ypartial u = 0 (não tem u na expressão).
  2. partial ypartial v = w (a derivada de v w em relação a v mantém w).
  3. partial ypartial w = v (a derivada de v w em relação a w mantém v).

Derivadas de z=u w

  1. partial zpartial u = w (a derivada de u w em relação a u mantém w).
  2. partial zpartial v = 0 (não tem v na expressão).
  3. partial zpartial w = u (a derivada de u w em relação a w mantém u).
Agora, vamos juntar tudo isso na matriz Jacobiana!

Passo 3

Colocando todas as derivadas que encontramos na matriz, temos:
J = v & u & 0 0 & w & v w & 0 & u

Resposta

O Jacobiano da transformação é:
J = v & u & 0 0 & w & v w & 0 & u

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