Uma pequena esfera de massa m=5,20 e-06 kg e carga q=6,31 e-08 C esta presa no teto por uma corda próxima a uma parede cuja superfície está carregada com densidade superficial uniforme de s=3,53 e 09 C / m^2. Qual o ângulo (em radianos) que o fio que prende a esfera faz com a vertical? Use epsilon0=9 times 10^-12 C^2 /(N m^2) e g=10 m / s^2.
Escolha uma opção:
A. 0,33
B. 0,23
C. nenhuma das outras
D. 0,39

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma esfera pequenininha com uma massa de e uma carga elétrica de . Essa esfera tá presa no teto por uma corda, e ela tá bem perto de uma parede que tem uma densidade superficial de carga . A pergunta é: qual o ângulo que a corda faz com a vertical? Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força elétrica, equilíbrio de forças e trigonometria básica. Também vamos usar as constantes fornecidas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera. Tem a força da gravidade puxando pra baixo e a força elétrica devido à interação entre a carga da esfera e a carga da parede. A corda vai ter uma tensão que precisa equilibrar essas forças.

Passo 3

Vamos calcular a força da gravidade ( Fg = m times g = 5,20 times 10^-6 , kg times 10 , m/s^2 = 5,20 times 10^-5 , N ) que age sobre a esfera:

Passo 4

Agora, vamos calcular a força elétrica ( E = s2 epsilon0 = 3,53 times 10^9 , C/m^22 times 9 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 = 3,53 times 10^91,8 times 10^-11 approx 1,96 times 10^20 , N/C ). A parede com densidade superficial de carga uniforme gera um campo elétrico ( Fe = q times E = 6,31 times 10^-8 , C times 1,96 times 10^20 , N/C approx 1,237 times 10^13 , N ) que pode ser calculado por:
A força elétrica é então:
Nota: Esse valor é extremamente alto, o que sugere que talvez haja um erro na densidade de carga fornecida. Vamos supor que a densidade correta seja para prosseguir.

Passo 5

Considerando o equilíbrio das forças, a tensão ( T cos(theta) = Fg ) na corda tem componentes que equilibram T sin(theta) = Fe e T sin(theta)T cos(theta) = FeFg implies tan(theta) = FeFg :
Dividindo as duas equações para eliminar :

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo theta = arctan(FeFg) = arctan(1,237 times 10^13 , N5,20 times 10^-5 , N) = arctan(2,38 times 10^17) :
Fe = q times E = 6,31 times 10^-8 , C times 1,96 times 10^20 , N/C approx 1,237 times 10^13 , N
Um valor tão grande para indica que está muito próximo de radianos (90 graus), o que provavelmente não faz sentido físico no contexto da questão. Isso reforça a suspeita de que houve um erro nos valores fornecidos, especialmente na densidade superficial de carga.
No entanto, para alinhar com as opções oferecidas e considerando uma densidade de carga possivelmente menor, vamos recalcular assumindo :
Essa força ainda é extremamente grande, sugerindo que a densidade correta deveria ser .

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas corresponde ao ângulo calculado. Portanto, a resposta correta é:
C. nenhuma das outras

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