Esboçe a região de integração e calcule as integrais iteradas seguintes:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida como
. Isso significa que precisamos esboçar a região de integração no plano
e calcular o valor dessa integral iterada. Para isso, vamos utilizar conceitos de integrais múltiplas e entender como determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral está organizada de forma que, para cada valor de
,
varia de
até 2. Então, vamos identificar os limites de
:
- A parte inferior de
é , que é uma parábola. - A parte superior de
é , que é uma linha horizontal.
Para encontrar os limites de
, buscamos onde essas duas curvas se encontram:
Portanto,
varia de 0 a
.
Passo 3
Com os limites definidos, podemos reescrever a integral com seus limites completos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, isto é, integrar
em relação a
:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculando cada parte:
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A integral dupla vale
.