Esboçe a região de integração e calcule as integrais iteradas seguintes: integral0 integralx^2^2 2 x y d y d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida como integral0 integralx^2^2 2xy , dy , dx. Isso significa que precisamos esboçar a região de integração no plano xy e calcular o valor dessa integral iterada. Para isso, vamos utilizar conceitos de integrais múltiplas e entender como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral está organizada de forma que, para cada valor de x, y varia de x^2 até 2. Então, vamos identificar os limites de x:
  • A parte inferior de y é y = x^2, que é uma parábola.
  • A parte superior de y é y = 2, que é uma linha horizontal.
Para encontrar os limites de x, buscamos onde essas duas curvas se encontram:
x^2 = 2 implies x = raiz2
Portanto, x varia de 0 a raiz2.

Passo 3

Com os limites definidos, podemos reescrever a integral com seus limites completos:
integral0^raiz2 integralx^2^2 2xy , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, isto é, integrar 2xy em relação a y:
integralx^2^2 2xy , dy = 2x integralx^2^2 y , dy = 2x [ y^22 ]x^2^2 = 2x ( 42 - x^42 ) = 2x (2 - x^42) = 4x - x^5

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^raiz2 (4x - x^5) , dx = 4 integral0^raiz2 x , dx - integral0^raiz2 x^5 , dx
Calculando cada parte:
4 integral0^raiz2 x , dx = 4 [ x^22 ]0^raiz2 = 4 ( 22 - 0 ) = 4(1) = 4
integral0^raiz2 x^5 , dx = [ x^66 ]0^raiz2 = (raiz2)^66 - 0 = 86 = 43
Subtraindo as duas partes:
4 - 43 = 123 - 43 = 83

Resposta

A integral dupla vale dfrac83.

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