Esboçe a região de integração e calcule as integrais iteradas seguintes: $\int_{0} \int_{x^{2}}^{2} 2 x y d y d x$

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida como . Isso significa que precisamos esboçar a região de integração no plano e calcular o valor dessa integral iterada. Para isso, vamos utilizar conceitos de integrais múltiplas e entender como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. A integral está organizada de forma que, para cada valor de , varia de até 2. Então, vamos identificar os limites de :
  • A parte inferior de é , que é uma parábola.
  • A parte superior de é , que é uma linha horizontal.
Para encontrar os limites de , buscamos onde essas duas curvas se encontram:
Portanto, varia de 0 a .

Passo 3

Com os limites definidos, podemos reescrever a integral com seus limites completos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, isto é, integrar em relação a :

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando cada parte:
Subtraindo as duas partes:

Resposta

A integral dupla vale .

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</body></html>
Usando coordenadas polares, calcule: , onde é a região limitada por . Interprete o resultado geometricamente.