Determine o Jacobiano da transformação:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o Jacobiano da transformação dada pelas funções e . O conteúdo que estamos tratando aqui é cálculo multivariável, mais especificamente, a transformação de variáveis e a matriz Jacobiana. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções e em relação a e .

Passo 2

O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções em relação às variáveis independentes. No nosso caso, as variáveis independentes são e . Então, vamos fazer isso!
O Jacobiano, que vamos chamar de , é definido como:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
  1. Para , a função é . Quando derivamos isso em relação a , tratamos como constante. Assim, temos:
  2. Agora, para , ainda com , derivamos em relação a tratando como constante. Logo, temos:
  3. Passando agora para , vamos calcular as derivadas parciais. Começando com :
  4. E agora, para , ao derivar em relação a , lembrando que o resultado envolve a regra do quociente:
Agora que temos todas as derivadas, podemos montar nossa matriz Jacobiana.

Passo 3

Com tudo isso, a matriz Jacobiana fica assim:
Agora, se quisermos o determinante do Jacobiano, teremos que calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz na forma:
é dado pela fórmula . Então, a gente aplica isso:
  1. Aqui, , , e .
  2. Agora substituímos na fórmula do determinante:
Simplificando isso, fica:

Resposta

Portanto, o Jacobiano da transformação é a matriz:
E o determinante do Jacobiano é:

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Encontre a relação entre e .
Determine o Jacobiano da transformação:
As soluçōes da equaçāo de onda eletromagnética podem se escrever
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