Determine o Jacobiano da transformação:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o Jacobiano da transformação dada pelas funções
e
. O conteúdo que estamos tratando aqui é cálculo multivariável, mais especificamente, a transformação de variáveis e a matriz Jacobiana. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções
e
em relação a
e
.
Passo 2
O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções em relação às variáveis independentes. No nosso caso, as variáveis independentes são
e
. Então, vamos fazer isso!
O Jacobiano, que vamos chamar de
, é definido como:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
-
Para
, a função é . Quando derivamos isso em relação a , tratamos como constante. Assim, temos: -
Agora, para
, ainda com , derivamos em relação a tratando como constante. Logo, temos: -
Passando agora para
, vamos calcular as derivadas parciais. Começando com : -
E agora, para
, ao derivar em relação a , lembrando que o resultado envolve a regra do quociente:
Agora que temos todas as derivadas, podemos montar nossa matriz Jacobiana.
Passo 3
Com tudo isso, a matriz Jacobiana
fica assim:
Agora, se quisermos o determinante do Jacobiano, teremos que calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz
na forma:
é dado pela fórmula
. Então, a gente aplica isso:
- Aqui,
, , e . - Agora substituímos na fórmula do determinante:
Simplificando isso, fica:
Resposta
Portanto, o Jacobiano da transformação é a matriz:
E o determinante do Jacobiano é:
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Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo c na direção
. A partir da lei de Faraday, obtemos a seguinte relação:
Descreva brevemente o significado fisico de
.
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Encontre a relação entre
e
.
Determine o Jacobiano da transformação:
As soluçōes da equaçāo de onda eletromagnética podem se escrever
A partir da lei de Faraday, mostre que
. O que podemos concluir sobre as direçües de
e
?