Determine o Jacobiano da transformação: x=u v ; y=u / v

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o Jacobiano da transformação dada pelas funções x = u v e y = uv. O conteúdo que estamos tratando aqui é cálculo multivariável, mais especificamente, a transformação de variáveis e a matriz Jacobiana. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções x e y em relação a u e v.

Passo 2

O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções em relação às variáveis independentes. No nosso caso, as variáveis independentes são u e v. Então, vamos fazer isso!
O Jacobiano, que vamos chamar de J, é definido como:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
  1. Para partial xpartial u, a função é x = u v. Quando derivamos isso em relação a u, tratamos v como constante. Assim, temos:
    partial xpartial u = v
  2. Agora, para partial xpartial v, ainda com x = u v, derivamos em relação a v tratando u como constante. Logo, temos:
    partial xpartial v = u
  3. Passando agora para y = uv, vamos calcular as derivadas parciais. Começando com partial ypartial u:
    partial ypartial u = 1v
  4. E agora, para partial ypartial v, ao derivar y = uv em relação a v, lembrando que o resultado envolve a regra do quociente:
    partial ypartial v = -uv^2
Agora que temos todas as derivadas, podemos montar nossa matriz Jacobiana.

Passo 3

Com tudo isso, a matriz Jacobiana J fica assim:
J = v & u 1v & -uv^2
Agora, se quisermos o determinante do Jacobiano, teremos que calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 times 2 na forma:
a & b c & d
é dado pela fórmula ad - bc. Então, a gente aplica isso:
  1. Aqui, a = v, b = u, c = 1v e d = -uv^2.
  2. Agora substituímos na fórmula do determinante:
det(J) = v (-uv^2) - u (1v)
Simplificando isso, fica:
det(J) = -uv - uv = -2uv

Resposta

Portanto, o Jacobiano da transformação é a matriz:
J = v & u 1v & -uv^2
E o determinante do Jacobiano é:
det(J) = -2uv

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