Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(lll1 & 0 & 1 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz que você mandou é invertível. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e determinantes. Para saber se uma matriz é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é um pouco trabalhosa, mas basicamente envolve multiplicar e subtrair certos elementos da matriz. A matriz que temos é:
1 & 0 & 1 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0

Passo 3

Para calcular o determinante dessa matriz, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de co-fatores. Vou usar a expansão de co-fatores aqui. Vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha.
O determinante (det) será:
det = a11 cdot 0 & 3 1 & 0 - a12 cdot 0 & 3 0 & 0 + a13 cdot 0 & 0 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular esses menores 2x2:
  1. Para 0 & 3 1 & 0 = (0)(0) - (3)(1) = 0 - 3 = -3 :
0 & 3 0 & 0 = (0)(0) - (3)(0) = 0 - 0 = 0
  1. Para 0 & 0 0 & 1 = (0)(1) - (0)(0) = 0 - 0 = 0 :
  1. Para :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det = 1 cdot (-3) - 0 cdot 0 + 1 cdot 0 = -3 - 0 + 0 = -3

Passo 6

Como o determinante é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível.

Resposta

A matriz 1 & 0 & 1 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 é invertível porque seu determinante é , diferente de zero.

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