Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quais das matrizes apresentadas são invertíveis. Estamos trabalhando com matrizes e conceitos de álgebra linear. Para descobrir se uma matriz é invertível, vamos precisar calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada (com o mesmo número de linhas e colunas) é invertível se existir outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. Uma condição fundamental para isso é que o determinante da matriz não seja zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dada:
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 1 & 1 & 0
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar:
det(A) = 1 times 1 times 0 + 2 times 2 times 1 + 3 times 1 times 1 - 3 times 1 times 1 - 2 times 1 times 0 - 1 times 2 times 1
Calculando cada parte:
= (1 times 1 times 0) + (2 times 2 times 1) + (3 times 1 times 1) - (3 times 1 times 1) - (2 times 1 times 0) - (1 times 2 times 1)
= 0 + 4 + 3 - 3 - 0 - 2
= 4 + 3 - 3 - 2
= 7 - 5
= 2
Resposta
Como o determinante da matriz é igual a 2, que é diferente de zero, a matriz é invertível.