Sob que condições em A e B é verdade que (A B)^-1=A^-1 B^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta: Sob que condições em A e B é verdade que . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra de matrizes, especificamente sobre inversos de matrizes. Para resolver, precisamos saber quando o inverso do produto de duas matrizes é igual ao produto dos inversos das matrizes, na mesma ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para duas matrizes e serem invertíveis, elas devem ser quadradas e ter determinante diferente de zero. Ou seja, e precisam ser invertíveis.

Passo 3

Sabemos que, em geral, o inverso do produto de duas matrizes segue a regra:
(AB)^-1 = B^-1A^-1
Note que a ordem dos inversos é invertida.

Passo 4

Queremos que B^-1A^-1 = A^-1B^-1 . Comparando com a regra geral, isso só é possível se:
Ou seja, e devem comutar, ou seja, a ordem em que multiplicamos não muda o resultado.

Passo 5

Se os inversos das matrizes comutam ( AB = BA ), então as matrizes originais também comutam:
Portanto, e precisam comutar.

Resposta

Para que seja verdadeiro, as matrizes e devem ser invertíveis e comutar, ou seja, .

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Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 1 & 1 & 0)
Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(b) AXB=(B A)^2
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