Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta: Sob que condições em A e B é verdade que . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra de matrizes, especificamente sobre inversos de matrizes. Para resolver, precisamos saber quando o inverso do produto de duas matrizes é igual ao produto dos inversos das matrizes, na mesma ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para duas matrizes e serem invertíveis, elas devem ser quadradas e ter determinante diferente de zero. Ou seja, e precisam ser invertíveis.
Passo 3
Sabemos que, em geral, o inverso do produto de duas matrizes segue a regra:
Note que a ordem dos inversos é invertida.
Passo 4
Queremos que . Comparando com a regra geral, isso só é possível se:
Ou seja, e devem comutar, ou seja, a ordem em que multiplicamos não muda o resultado.
Passo 5
Se os inversos das matrizes comutam (), então as matrizes originais também comutam:
Portanto, e precisam comutar.
Resposta
Para que seja verdadeiro, as matrizes e devem ser invertíveis e comutar, ou seja, .