Seja
A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função é diferenciável no ponto . Isso envolve entender conceitos de cálculo multivariado, especialmente sobre diferenciabilidade e limites. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função perto desse ponto e verificar se ela é suave o suficiente para ter derivadas parciais contínuas ali.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por um plano linear quando nos aproximamos desse ponto. Isso implica que as derivadas parciais devem existir e ser contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar verificando se as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h existem em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k . As derivadas parciais são calculadas como limites: