Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função é diferenciável no ponto . Isso envolve entender conceitos de cálculo multivariado, especialmente sobre diferenciabilidade e limites. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função perto desse ponto e verificar se ela é suave o suficiente para ter derivadas parciais contínuas ali.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por um plano linear quando nos aproximamos desse ponto. Isso implica que as derivadas parciais devem existir e ser contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar verificando se as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h existem em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k . As derivadas parciais são calculadas como limites:

Passo 4

Vamos calcular f(h,0) = h^2 sin((h^2 + 0)^2)h^2 = sin(h^4) :
fx(0,0) = limh to 0 sin(h^4) - 0h = limh to 0 sin(h^4)h
Então,
sin(h^4)h approx h^4h = h^3
Sabemos que limh to 0 h^3 = 0 quando é pequeno, então:
E claramente,
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular f(0,k) = 0^2 sin((0 + k^2)^2)0 + k^2 = 0 :
fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0
Então,
Portanto, .

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, precisamos verificar se a função é de fato diferenciável. Para isso, analisamos o limite:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2
Como lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2 + k^2 e , o limite fica:

Passo 7

Vamos substituir f(h,k)raizh^2 + k^2 = h^2 sin((h^2 + k^2)^2)h^2 + k^2raizh^2 + k^2 = h^2 sin((h^2 + k^2)^2)(h^2 + k^2)^3/2 :
| h^2 sin((h^2 + k^2)^2)(h^2 + k^2)^3/2 | <= h^2 cdot (h^2 + k^2)^2(h^2 + k^2)^3/2 = h^2 (h^2 + k^2)^1/2
Agora, usamos a propriedade de que :

Passo 8

Vamos analisar o limite de lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2 + k^2 = 0 quando . Sabemos que e tendem a zero, então o produto também tende a zero.
Portanto,

Resposta

Como o limite é zero, concluímos que a função é diferenciável em .

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f(x, y) = raiz5(x^4 + 9 * x^2 * y^6 + 3 * y^2)
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z=sin theta cos phi, theta=s t^2, phi=s^2 t;
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f(x, y) = |x + y|.